Question

1. a) divise $x^{3}-4x^{2}+3x - 7$ par $x + 3$.

exprime le résultat sous forme de quotient.
b) énonce toute restriction qui sapplique à la variable.
c) écris lénoncé correspondant qui peut être utilisé pour vérifier la division.
d) vérifie ta réponse.

Explanation:

Step1: Division polynomiale

On utilise la division polynomiale de $x^{3}-4x^{2}+3x - 7$ par $x + 3$. On écrit $x^{3}-4x^{2}+3x-7=(x + 3)(ax^{2}+bx + c)+d$.
On sait que $a = 1$ (car le coefficient de $x^{3}$ dans $x^{3}-4x^{2}+3x-7$ est 1).
$(x + 3)(x^{2}+bx + c)=x^{3}+bx^{2}+cx+3x^{2}+3bx + 3c=x^{3}+(b + 3)x^{2}+(c + 3b)x+3c$.
Comparant les coefficients de $x^{2}$ : $b + 3=-4$, donc $b=-7$.
Comparant les coefficients de $x$ : $c+3b = 3$. En remplaçant $b=-7$, on a $c-21 = 3$, donc $c = 24$.
Comparant les termes constants : $3c+d=-7$. En remplaçant $c = 24$, on a $72 + d=-7$, donc $d=-79$.
Donc $x^{3}-4x^{2}+3x-7=(x + 3)(x^{2}-7x + 24)-79$. Le quotient est $x^{2}-7x + 24$ et le reste est $-79$.

Step2: Restriction sur la variable

Dans une division de polynômes $\frac{f(x)}{g(x)}$, la variable $x$ doit satisfaire $g(x)
eq0$. Ici $g(x)=x + 3$, donc $x
eq - 3$.

Step3: Énoncé de vérification

Pour vérifier la division $\frac{f(x)}{g(x)}=q(x)+\frac{r}{g(x)}$, on utilise la formule $f(x)=g(x)q(x)+r$. Ici $f(x)=x^{3}-4x^{2}+3x-7$, $g(x)=x + 3$, $q(x)=x^{2}-7x + 24$ et $r=-79$. L'énoncé de vérification est $x^{3}-4x^{2}+3x-7=(x + 3)(x^{2}-7x + 24)-79$.

Step4: Vérification

On développe le droit - membre :
$(x + 3)(x^{2}-7x + 24)-79=x^{3}-7x^{2}+24x+3x^{2}-21x + 72-79=x^{3}-4x^{2}+3x-7$, ce qui est égal au gauche - membre.

Answer:

a) Quotient : $x^{2}-7x + 24$, Reste : $-79$
b) $x
eq - 3$
c) $x^{3}-4x^{2}+3x-7=(x + 3)(x^{2}-7x + 24)-79$
d) Vérifié car $(x + 3)(x^{2}-7x + 24)-79=x^{3}-4x^{2}+3x-7$