Question

solve:
\\(\frac{x}{x - 6} + \frac{14}{x} = 9\\)
\\(x = \frac{?}{\square}, \square\\)

Explanation:

Step1: Eliminar denominadores

Multiplicar ambos lados de la ecuación por \( x(x - 6) \) (el mínimo común denominador) para eliminar los denominadores:
\[
x(x - 6) \cdot \frac{x}{x - 6} + x(x - 6) \cdot \frac{14}{x} = 9 \cdot x(x - 6)
\]
Simplificar cada término:
\[
x \cdot x + 14(x - 6) = 9x(x - 6)
\]
\[
x^2 + 14x - 84 = 9x^2 - 54x
\]

Step2: Formar ecuación cuadrática

Mover todos los términos a un lado:
\[
x^2 + 14x - 84 - 9x^2 + 54x = 0
\]
Combinar términos semejantes:
\[
-8x^2 + 68x - 84 = 0
\]
Multiplicar ambos lados por -1 para simplificar:
\[
8x^2 - 68x + 84 = 0
\]
Dividir por 4:
\[
2x^2 - 17x + 21 = 0
\]

Step3: Resolver ecuación cuadrática

Usar la fórmula cuadrática \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) para \( 2x^2 - 17x + 21 = 0 \), donde \( a = 2 \), \( b = -17 \), \( c = 21 \):
\[
x = \frac{17 \pm \sqrt{(-17)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 21}}{2 \cdot 2}
\]
Calcular el discriminante:
\[
\sqrt{289 - 168} = \sqrt{121} = 11
\]
Entonces:
\[
x = \frac{17 \pm 11}{4}
\]
Calcular las dos soluciones:

• Para \( + \): \( x = \frac{17 + 11}{4} = \frac{28}{4} = 7 \)
• Para \( - \): \( x = \frac{17 - 11}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)

Step4: Verificar soluciones

Verificar \( x = 7 \):
\[
\frac{7}{7 - 6} + \frac{14}{7} = 7 + 2 = 9 \quad (\text{válido})
\]
Verificar \( x = \frac{3}{2} \):
\[
\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2} - 6} + \frac{14}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{-\frac{9}{2}} + \frac{28}{3} = -\frac{1}{3} + \frac{28}{3} = 9 \quad (\text{válido})
\]

Answer:

\( x = \frac{3}{2} \), \( x = 7 \)