Question

perform the operation and simplify.\\(\frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 + 7x + 12} \div \frac{x^2 - 4x - 5}{x^2 - 3x - 28}\\)\\(\frac{(x - ?)(x + \square)}{(x - \square)(x + \square)}\\)

Explanation:

Step1: Factorizar los trinomios

• Factorizar \(x^{2}+3x + 2\): Buscamos dos números que sumen 3 y multipliquen 2. Estos son 1 y 2. Entonces \(x^{2}+3x + 2=(x + 1)(x + 2)\).
• Factorizar \(x^{2}+7x + 12\): Buscamos dos números que sumen 7 y multipliquen 12. Estos son 3 y 4. Entonces \(x^{2}+7x + 12=(x + 3)(x + 4)\).
• Factorizar \(x^{2}-4x - 5\): Buscamos dos números que sumen -4 y multipliquen -5. Estos son -5 y 1. Entonces \(x^{2}-4x - 5=(x - 5)(x + 1)\).
• Factorizar \(x^{2}-3x - 28\): Buscamos dos números que sumen -3 y multipliquen -28. Estos son -7 y 4. Entonces \(x^{2}-3x - 28=(x - 7)(x + 4)\).

Step2: Reescribir la división como multiplicación por el recíproco

La división de fracciones \(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}\). Entonces:
\[
\frac{(x + 1)(x + 2)}{(x + 3)(x + 4)}\div\frac{(x - 5)(x + 1)}{(x - 7)(x + 4)}=\frac{(x + 1)(x + 2)}{(x + 3)(x + 4)}\times\frac{(x - 7)(x + 4)}{(x - 5)(x + 1)}
\]

Step3: Cancelar factores comunes

• Cancelar \((x + 1)\) en el numerador y denominador.
• Cancelar \((x + 4)\) en el numerador y denominador.

Después de cancelar, tenemos:
\[
\frac{(x + 2)(x - 7)}{(x + 3)(x - 5)}=\frac{(x - 7)(x + 2)}{(x - 5)(x + 3)}
\]

Answer:

\(\frac{(x - 7)(x + 2)}{(x - 5)(x + 3)}\) (donde el valor en el primer corchete es 7, el segundo \(x + 2\) tiene 2, el denominador \(x - 5\) tiene 5 y \(x + 3\) tiene 3)