Question

1. dans le plan cartésien suivant gradué en mètres. les droites pq et qr sont perpendiculaires. le point p est situé sur l’axe des y et le point r est situé sur l’axe des x. l’équation de la droite pq est (\frac{x}{-16} + \frac{y}{8} = 1). déterminez la mesure du segment pr.

Explanation:

Step1: Trouver les coordonnées de P

Le point \( P \) est sur l'axe des \( y \), donc son abscisse est \( 0 \). Pour trouver son ordonnée, on substitue \( x = 0 \) dans l'équation de la droite \( PQ \) : \( \frac{x}{-16} + \frac{y}{8} = 1 \).
En remplaçant \( x \) par \( 0 \) : \( \frac{0}{-16} + \frac{y}{8} = 1 \) → \( \frac{y}{8} = 1 \) → \( y = 8 \). Donc, \( P(0, 8) \).

Step2: Déterminer l'équation de la droite \( QR \)

La droite \( PQ \) a pour équation \( \frac{x}{-16} + \frac{y}{8} = 1 \), on peut écrire sa forme slope-intercept : \( y = \frac{1}{2}x + 8 \) (donc la pente \( m_{PQ} = \frac{1}{2} \)).
Puisque \( PQ \perp QR \), la pente de \( QR \) est le négatif de la réciproque : \( m_{QR} = -2 \).
La droite \( QR \) passe par \( Q(12, 14) \), donc son équation est \( y - 14 = -2(x - 12) \) → \( y = -2x + 24 + 14 \) → \( y = -2x + 38 \).

Step3: Trouver les coordonnées de \( R \)

Le point \( R \) est sur l'axe des \( x \), donc son ordonnée est \( 0 \). On substitue \( y = 0 \) dans l'équation de \( QR \) : \( 0 = -2x + 38 \) → \( 2x = 38 \) → \( x = 19 \). Donc, \( R(19, 0) \).

Step4: Calculer la longueur \( PR \)

On utilise la formule de la distance entre deux points \( (x_1, y_1) \) et \( (x_2, y_2) \) : \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \).
Pour \( P(0, 8) \) et \( R(19, 0) \) :
\( PR = \sqrt{(19 - 0)^2 + (0 - 8)^2} = \sqrt{361 + 64} = \sqrt{425} = 5\sqrt{17} \approx 20.6155 \) (ou simplifier \( \sqrt{425} = 5\sqrt{17} \), mais si on calcule la valeur numérique, c'est environ \( 20.62 \) mètres, ou peut - être une erreur dans les calculs si on réexamine). Wait, réexaminons l'équation de \( PQ \). L'équation donnée est \( \frac{x}{-16} + \frac{y}{8} = 1 \), donc en multipliant par 16 : \( -x + 2y = 16 \) → \( 2y = x + 16 \) → \( y = \frac{1}{2}x + 8 \), c'est correct. Puis \( Q(12,14) \) : vérifions si \( Q \) est sur \( PQ \) : \( y = \frac{1}{2}(12) + 8 = 6 + 8 = 14 \), oui, correct. Pente de \( PQ \) est \( \frac{1}{2} \), donc pente de \( QR \) est \( -2 \), correct. Équation de \( QR \) : \( y - 14 = -2(x - 12) \) → \( y = -2x + 24 + 14 = -2x + 38 \), correct. Pour \( R \) sur axe \( x \), \( y = 0 \) : \( 0 = -2x + 38 \) → \( x = 19 \), correct. Donc \( R(19,0) \), \( P(0,8) \). Distance \( PR \) : \( \sqrt{(19 - 0)^2 + (0 - 8)^2} = \sqrt{361 + 64} = \sqrt{425} = 5\sqrt{17} \approx 20.62 \) mètres. Ou peut - être que le problème a une autre approche, comme utiliser les triangles rectangles. Puisque \( PQ \perp QR \), le triangle \( PQR \) est rectangle en \( Q \), donc \( PR^2 = PQ^2 + QR^2 \). Calculons \( PQ \) : distance entre \( P(0,8) \) et \( Q(12,14) \) : \( \sqrt{(12 - 0)^2 + (14 - 8)^2} = \sqrt{144 + 36} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} \). \( QR \) : distance entre \( Q(12,14) \) et \( R(19,0) \) : \( \sqrt{(19 - 12)^2 + (0 - 14)^2} = \sqrt{49 + 196} = \sqrt{245} = 7\sqrt{5} \). Alors \( PR^2 = (6\sqrt{5})^2 + (7\sqrt{5})^2 = 180 + 245 = 425 \), donc \( PR = \sqrt{425} = 5\sqrt{17} \approx 20.62 \) mètres.

Answer:

La mesure du segment \( PR \) est \( 5\sqrt{17} \) mètres (ou approximativement \( 20.62 \) mètres). Si on simplifie \( \sqrt{425} \), on obtient \( 5\sqrt{17} \), ou si on calcule la valeur décimale, environ \( 20.62 \) mètres.