Question

for each of the examples below, use polynomial long division to determine if the divisor is a factor of the dividend.
\\(\frac{3x^{3}+4x^{2}-26x - 16}{3x - 8}\\)

Explanation:

Step1: Realizar la división polinómica

Dividimos $3x^{3}+4x^{2}-26x - 16$ entre $3x - 8$. Comenzamos dividiendo el primer término del dividendo $3x^{3}$ entre el primer término del divisor $3x$, obteniendo $x^{2}$. Luego multiplicamos $3x - 8$ por $x^{2}$ y restamos del dividendo:
\[

$$\begin{align*} (3x^{3}+4x^{2}-26x - 16)-x^{2}(3x - 8)&=(3x^{3}+4x^{2}-26x - 16)-(3x^{3}-8x^{2})\\ &=3x^{3}+4x^{2}-26x - 16 - 3x^{3}+8x^{2}\\ &=12x^{2}-26x - 16 \end{align*}$$

\]

Step2: Continuar la división

Ahora dividimos el primer término de $12x^{2}-26x - 16$, que es $12x^{2}$, entre el primer término del divisor $3x$, obteniendo $4x$. Multiplicamos $3x - 8$ por $4x$ y restamos:
\[

$$\begin{align*} (12x^{2}-26x - 16)-4x(3x - 8)&=(12x^{2}-26x - 16)-(12x^{2}-32x)\\ &=12x^{2}-26x - 16 - 12x^{2}+32x\\ &=6x - 16 \end{align*}$$

\]

Step3: Finalizar la división

Dividimos el primer término de $6x - 16$, que es $6x$, entre el primer término del divisor $3x$, obteniendo $2$. Multiplicamos $3x - 8$ por $2$ y restamos:
\[

$$\begin{align*} (6x - 16)-2(3x - 8)&=(6x - 16)-(6x - 16)\\ &=6x - 16 - 6x + 16\\ &=0 \end{align*}$$

\]

Answer:

El divisor $3x - 8$ es un factor del dividendo $3x^{3}+4x^{2}-26x - 16$ ya que el resto de la división polinómica es 0.