Question

1. la figure ci - dessous est composée dun rectangle et dun triangle isocèle dont la hauteur est de (2x + 3) cm. sachant que laire du rectangle est de (6x² + 13x + 5) cm² et que sa base est plus grande que sa hauteur, déterminez lexpression algébrique qui représente laire du triangle gris.

a=(6x² + 13x + 5) cm²
(2x + 3) cm

Explanation:

Step1: Trouver la base du rectangle

On sait que l'aire d'un rectangle $A = b\times h$. Donc, $b=\frac{A}{h}$. Avec $A = 6x^{2}+13x + 5$ et $h=2x + 3$.
On factorise $6x^{2}+13x + 5=(2x + 5)(3x+1)$.
Alors $b=\frac{(2x + 5)(3x + 1)}{2x+3}$.

Step2: Trouver l'aire du triangle

L'aire d'un triangle est $A_{\triangle}=\frac{1}{2}\times base\times hauteur$. La hauteur du triangle est $2x + 3$ et la base est $b-(2x + 3)$.
$b-(2x + 3)=\frac{(2x + 5)(3x + 1)}{2x+3}-(2x + 3)=\frac{(2x + 5)(3x + 1)-(2x + 3)^{2}}{2x+3}$
On développe: $(2x + 5)(3x + 1)=6x^{2}+17x+5$ et $(2x + 3)^{2}=4x^{2}+12x + 9$.
Alors $(2x + 5)(3x + 1)-(2x + 3)^{2}=6x^{2}+17x+5-(4x^{2}+12x + 9)=2x^{2}+5x - 4$.
Donc $A_{\triangle}=\frac{1}{2}\times(2x + 3)\times\frac{2x^{2}+5x - 4}{2x+3}=\frac{2x^{2}+5x - 4}{2}$

Answer:

$\frac{2x^{2}+5x - 4}{2}\text{ cm}^2$