Question

1. annual sales for a company are $155,000 and increase at a rate of 8% per year for 9 years.

the graph shows :
the graph is :
the asymptote is :
asymptote equation: __ = __
domain:
range:

Explanation:

Step1: Identificar el tipo de función

La situación describe un crecimiento exponencial, ya que las ventas aumentan a una tasa fija (8% anual). La fórmula para el crecimiento exponencial es $A(t) = P(1 + r)^t$, donde $P$ es el principal (ventas iniciales), $r$ es la tasa de crecimiento y $t$ es el tiempo en años. Aquí, $P = 155000$, $r = 0.08$ y $t$ está en el intervalo de 0 a 9 años (ya que es para 9 años).

Step2: Analizar la gráfica (asíntota, dominio, rango)

• Asíntota horizontal: Para una función exponencial de crecimiento $y = ab^x + k$ (aquí $k = 0$ porque no hay desplazamiento vertical), la asíntota horizontal es $y = 0$ (ya que cuando $t \to -\infty$, $A(t) \to 0$, pero en este caso, $t$ no es negativo, pero la función teórica tiene asíntota en $y = 0$).
• Dominio: El tiempo $t$ está entre 0 y 9 años (inclusive), así que el dominio es $0 \leq t \leq 9$ (o en notación de intervalos, $[0, 9]$).
• Rango: Las ventas iniciales son $155000$ (cuando $t = 0$) y crecen a 8% anual. Calculamos el valor final cuando $t = 9$: $A(9) = 155000(1 + 0.08)^9$. Calculando eso: $1.08^9 \approx 1.999004627$, así que $A(9) \approx 155000 \times 1.999004627 \approx 319845.72$. Entonces el rango es de $155000$ a aproximadamente $319846$ (inclusive), o $155000 \leq A(t) \leq 319846$ (o en intervalo $[155000, 319846]$).

Step3: Ecuación de la función

Usando la fórmula del crecimiento exponencial: $A(t) = 155000(1 + 0.08)^t = 155000(1.08)^t$, donde $t$ está en $[0, 9]$.

Step4: Resumen de la gráfica

• Lo que muestra la gráfica: La gráfica muestra la evolución de las ventas anuales de la empresa a lo largo de 9 años, con un crecimiento exponencial a una tasa de 8% anual.
• Asíntota: La asíntota horizontal es $y = 0$ (ya que la función exponencial $y = ab^x$ tiene asíntota en $y = 0$).
• Ecuación de la asíntota: $y = 0$
• Ecuación de la función: $A(t) = 155000(1.08)^t$, $0 \leq t \leq 9$
• Dominio: $[0, 9]$ (o $0 \leq t \leq 9$)
• Rango: $[155000, 319846]$ (aproximadamente, o $155000 \leq A(t) \leq 319846$)

Answer:

• La gráfica muestra: La evolución de las ventas anuales de la empresa a lo largo de 9 años, con crecimiento exponencial al 8% anual.
• La gráfica es: Una curva exponencial de crecimiento que empieza en $(0, 155000)$ y crece hasta $(9, \approx 319846)$.
• La asíntota es: $y = 0$ (asíntota horizontal).
• Ecuación de la asíntota: $y = 0$
• Ecuación de la función: $A(t) = 155000(1.08)^t$ (donde $t$ está en $0 \leq t \leq 9$)
• Dominio: $0 \leq t \leq 9$ (o $[0, 9]$)
• Rango: $155000 \leq A(t) \leq 319846$ (aproximadamente, o $[155000, 319846]$)