Question

chapter 1 limits and their properties
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1. $lim_{x

ightarrow2}\frac{|x - 2|}{x - 2}$

1. $lim_{x

ightarrow5}\frac{2}{x - 5}$

1. $lim_{x

ightarrow0}cos\frac{1}{x}$

1. $lim_{x

ightarrowpi/2}\tan x$

Explanation:

25. $\lim_{x

ightarrow2}\frac{\vert x - 2\vert}{x - 2}$

Step1: 양쪽 극한 계산

$x\to2^+$일 때, $x - 2>0$이므로 $\vert x - 2\vert=x - 2$. 그러면 $\lim_{x
ightarrow2^+}\frac{\vert x - 2\vert}{x - 2}=\lim_{x
ightarrow2^+}\frac{x - 2}{x - 2}=1$.
$x\to2^-$일 때, $x - 2<0$이므로 $\vert x - 2\vert=-(x - 2)$. 그러면 $\lim_{x
ightarrow2^-}\frac{\vert x - 2\vert}{x - 2}=\lim_{x
ightarrow2^-}\frac{-(x - 2)}{x - 2}=-1$.
양쪽 극한이 다르므로 $\lim_{x
ightarrow2}\frac{\vert x - 2\vert}{x - 2}$는 존재하지 않는다.

26. $\lim_{x

ightarrow5}\frac{2}{x - 5}$

Step1: 양쪽 극한 계산

$x\to5^+$일 때, $x-5\to0^+$이므로 $\lim_{x
ightarrow5^+}\frac{2}{x - 5}=+\infty$.
$x\to5^-$일 때, $x - 5\to0^-$이므로 $\lim_{x
ightarrow5^-}\frac{2}{x - 5}=-\infty$.
극한이 무한대로 발산하므로 $\lim_{x
ightarrow5}\frac{2}{x - 5}$는 존재하지 않는다.

27. $\lim_{x

ightarrow0}\cos\frac{1}{x}$

Step1: $x\to0$일 때 $\frac{1}{x}$의 특성 고려

$x\to0$일 때, $\frac{1}{x}$는 $+\infty$ 또는 $-\infty$로 발산한다. $\cos t$ 함수는 $t$가 변화할 때 $- 1$과 $1$ 사이에서 진동한다. $\cos\frac{1}{x}$는 $x\to0$일 때 $-1$과 $1$ 사이에서 무한히 진동하므로 $\lim_{x
ightarrow0}\cos\frac{1}{x}$는 존재하지 않는다.

28. $\lim_{x

ightarrow\frac{\pi}{2}}\tan x$

Step1: 양쪽 극한 계산

$x\to\frac{\pi}{2}^+$일 때, $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$, $\cos x\to0^-$이고 $\sin x = 1$이므로 $\lim_{x
ightarrow\frac{\pi}{2}^+}\tan x=-\infty$.
$x\to\frac{\pi}{2}^-$일 때, $\cos x\to0^+$이고 $\sin x = 1$이므로 $\lim_{x
ightarrow\frac{\pi}{2}^-}\tan x=+\infty$.
양쪽 극한이 다르므로 $\lim_{x
ightarrow\frac{\pi}{2}}\tan x$는 존재하지 않는다.

Answer:

1. 극한 존재하지 않음
2. 극한 존재하지 않음
3. 극한 존재하지 않음
4. 극한 존재하지 않음