Question

deux rapports équivalents sont deux rapports égaux.
légalité de deux rapports équivalents forme une proportion.
(* également applicable aux taux)
proportion: (\frac{a}{b} = \frac{c}{d}) ou (a : b = c : d)
exemples:
1- détermine un rapport équivalent à (3 : 5).
2- forme une proportion avec le rapport (\frac{36}{27}).
le produit croisé
pour résoudre des problèmes, on emploie souvent une proportion dans laquelle un des 4 nombres est linconnue à trouver (une lettre souvent notée (x)).
on trouve ensuite cette valeur (x) en appliquant le produit croisé.
(\frac{a}{b} = \frac{x}{d}) (\frac{x}{b} = \frac{c}{d}) (\frac{a}{x} = \frac{c}{d}) (\frac{a}{b} = \frac{c}{x})
exemple: détermine la valeur de linconnue dans chacune des proportions suivantes.
a) (\frac{x}{6} = \frac{72}{48}) b) (\frac{7}{8} = \frac{x}{10}) c) (9 : x = 108 : 84)

Explanation:

Sous-question 1 : Trouver un rapport équivalent

Étape1: Multiplier les termes par un nombre

Pour obtenir un rapport équivalent, on multiplie les deux termes de $3:5$ par le même nombre (ici, 2) :
$3 \times 2 : 5 \times 2 = 6:10$

Sous-question 2 : Former une proportion

Étape1: Simplifier le rapport initial

On simplifie $\frac{36}{27}$ par leur diviseur commun (9) :
$\frac{36 \div 9}{27 \div 9} = \frac{4}{3}$

Étape2: Écrire la proportion

On égalise le rapport initial à son équivalent simplifié :
$\frac{36}{27} = \frac{4}{3}$

Sous-question a) : Trouver $x$ dans $\frac{x}{6} = \frac{72}{48}$

Étape1: Appliquer le produit croisé

Le produit des extrêmes égale le produit des moyens :
$x \times 48 = 6 \times 72$

Étape2: Calculer le produit droit

$6 \times 72 = 432$, donc :
$48x = 432$

Étape3: Isoler $x$

On divise les deux côtés par 48 :
$x = \frac{432}{48} = 9$

Sous-question b) : Trouver $x$ dans $\frac{7}{8} = \frac{x}{10}$

Étape1: Appliquer le produit croisé

$7 \times 10 = 8 \times x$

Étape2: Calculer le produit gauche

$7 \times 10 = 70$, donc :
$8x = 70$

Étape3: Isoler $x$

On divise les deux côtés par 8 :
$x = \frac{70}{8} = \frac{35}{4} = 8,75$

Sous-question c) : Trouver $x$ dans $9:x = 108:84$

Étape1: Convertir en fraction

On réécrit la proportion sous forme de fractions :
$\frac{9}{x} = \frac{108}{84}$

Étape2: Appliquer le produit croisé

$9 \times 84 = 108 \times x$

Étape3: Calculer le produit gauche

$9 \times 84 = 756$, donc :
$108x = 756$

Étape4: Isoler $x$

On divise les deux côtés par 108 :
$x = \frac{756}{108} = 7$

Answer:

1. Un rapport équivalent à $3:5$ est $6:10$ (autres réponses possibles en multipliant par un autre nombre)
2. Une proportion avec $\frac{36}{27}$ est $\boldsymbol{\frac{36}{27} = \frac{4}{3}}$

a) $\boldsymbol{x=9}$
b) $\boldsymbol{x=\frac{35}{4} \text{ ou } 8,75}$
c) $\boldsymbol{x=7}$