Question

equation
( mangle 1 = mangle 4 ), ( mangle ehf = 90^circ ), ( mangle ghf = 90^circ ) given
( mangle ehf = mangle ghf )
( mangle ehf = mangle 1 + mangle 2 )
( mangle ghf = mangle 3 + mangle 4 )
( mangle 1 + mangle 2 = mangle 3 + mangle 4 )
substitution property of equality
( mangle 2 = mangle 3 )

Explanation:

Step1: Completar la razón para \( m\angle EHF = m\angle GHF \)

Ambos ángulos son de \( 90^\circ \) (dado \( m\angle EHF = 90^\circ \) y \( m\angle GHF = 90^\circ \)), así que la razón es "Transitive Property of Equality" (o "Substitution" por igualdad numérica, pero más precisamente, como ambos son \( 90^\circ \), se puede usar "Definition of Congruent Angles" o "Substitution with Given Values"). Pero más simple: como \( m\angle EHF = 90^\circ \) y \( m\angle GHF = 90^\circ \), entonces \( m\angle EHF = m\angle GHF \) por "Substitution" (ya que ambos son iguales a \( 90^\circ \)).

Step2: Completar la razón para \( m\angle EHF = m\angle 1 + m\angle 2 \) y \( m\angle GHF = m\angle 3 + m\angle 4 \)

Esto es la "Angle Addition Postulate" (Postulado de Adición de Ángulos), que establece que si un ángulo se divide en dos ángulos adyacentes, la medida del ángulo total es la suma de las medidas de los ángulos adyacentes.

Step3: Completar la razón para \( m\angle 1 + m\angle 2 = m\angle 3 + m\angle 4 \)

Dado que \( m\angle EHF = m\angle GHF \) (del paso 1) y \( m\angle EHF = m\angle 1 + m\angle 2 \), \( m\angle GHF = m\angle 3 + m\angle 4 \) (del paso 2), entonces por la "Substitution Property of Equality" (o "Transitive Property of Equality"), se obtiene \( m\angle 1 + m\angle 2 = m\angle 3 + m\angle 4 \).

Step4: Completar la ecuación para la propiedad de sustitución

Dado \( m\angle 1 = m\angle 4 \) (dado) y \( m\angle 1 + m\angle 2 = m\angle 3 + m\angle 4 \) (del paso 3), sustituimos \( m\angle 1 \) por \( m\angle 4 \) (o viceversa) en la ecuación \( m\angle 1 + m\angle 2 = m\angle 3 + m\angle 4 \). Sustituyendo \( m\angle 4 \) por \( m\angle 1 \) (o \( m\angle 1 \) por \( m\angle 4 \)): si sustituimos \( m\angle 4 \) por \( m\angle 1 \) en \( m\angle 3 + m\angle 4 \), obtenemos \( m\angle 3 + m\angle 1 \), pero ya tenemos \( m\angle 1 + m\angle 2 \), así que restando \( m\angle 1 \) (o \( m\angle 4 \)) de ambos lados. Pero más precisamente, la ecuación a completar es \( m\angle 1 + m\angle 2 = m\angle 3 + m\angle 1 \) (sustituyendo \( m\angle 4 \) por \( m\angle 1 \)) o \( m\angle 4 + m\angle 2 = m\angle 3 + m\angle 4 \) (sustituyendo \( m\angle 1 \) por \( m\angle 4 \)). Entonces, restando \( m\angle 1 \) (o \( m\angle 4 \)) de ambos lados, obtenemos \( m\angle 2 = m\angle 3 \).

Step5: Completar la razón para \( m\angle 2 = m\angle 3 \)

Después de sustituir \( m\angle 1 \) por \( m\angle 4 \) (o viceversa) y restar la misma cantidad de ambos lados de la ecuación, usamos la "Subtraction Property of Equality" (Propiedad de Sustracción de Igualdad), que establece que si \( a + b = c + b \), entonces \( a = c \) (restando \( b \) de ambos lados).

Answer:

Para completar la tabla:

• \( m\angle EHF = m\angle GHF \): Razón: Substitution (or Transitive Property of Equality) (porque ambos son \( 90^\circ \))
• \( m\angle EHF = m\angle 1 + m\angle 2 \) y \( m\angle GHF = m\angle 3 + m\angle 4 \): Razón: Angle Addition Postulate
• \( m\angle 1 + m\angle 2 = m\angle 3 + m\angle 4 \): Razón: Substitution Property of Equality (usando \( m\angle EHF = m\angle GHF \))
• Ecuación para Substitution Property of Equality: \( \boldsymbol{m\angle 1 + m\angle 2 = m\angle 3 + m\angle 1} \) (o \( m\angle 4 + m\angle 2 = m\angle 3 + m\angle 4 \))
• \( m\angle 2 = m\angle 3 \): Razón: Subtraction Property of Equality (restando \( m\angle 1 \) (o \( m\angle 4 \)) de ambos lados)