Question

1. the following are the equations of two perpendicular lines:

y = ax + b
y = cx + d
which one of the following statements is true?
a. $a = c$ b. $b = d$ c. $a = \frac{1}{c}$ d. $c = -\frac{1}{a}$

1. what is the equation of a line that passes through the point $(-2, -3)$ and is parallel to the straight line that is represented by the equation $3x - 2y + 4 = 0$?

a. $3x - 2y = 0$ c. $2x - 3y - 5 = 0$
b. $3x + 2y + 12 = 0$ d. $2x - 3y + 13 = 0$

1. in the coordinate plane below, points a and b are the points of intersection of a line and a parabola. the equation of the line is $2x + y + 2 = 0$. the equation of the parabola is $y = x^2 + x - 6$. what are the coordinates of point a?

a. $(1, -4)$
b. $(-4, 6)$
c. $(-4, 1)$
d. $(6, -4)$

1. determine the point of intersection for the two straight lines given below:

$450x + 300y = 2700$
$300x + 250y = 1950$

Explanation:

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문제 1

Step1: 수직 직선 기울기 성질

두 직선이 수직이면 기울기의 곱은 -1이다.
<Expression>
$a \times c = -1$
</Expression>

Step2: 기울기 관계 변형

위 식을 $c$에 대해 정리한다.
<Expression>
$c = -\frac{1}{a}$
</Expression>

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문제 2

Step1: 주어진 직선 기울기 구하기

주어진 식 $3x-2y+4=0$을 기울기절편형으로 변환한다.
<Expression>
$y = \frac{3}{2}x + 2$
</Expression>

Step2: 평행 직선 기울기 설정

평행 직선은 기울기가 같으므로 $y = \frac{3}{2}x + k$로 표기한다.

Step3: 점 대입해 k 구하기

점 $(-2,-3)$를 대입한다.
<Expression>
$-3 = \frac{3}{2} \times (-2) + k$
$-3 = -3 + k$
$k = 0$
</Expression>

Step4: 직선 식 정리

기울기절편형을 표준형으로 변환한다.
<Expression>
$y = \frac{3}{2}x \implies 3x - 2y = 0$
</Expression>

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문제 3

Step1: 연립방정식 설정

직선과 포물선의 교점은 두 식을 연립하면 구할 수 있다.
<Expression>

$$\begin{cases} 2x + y + 2 = 0 \\ y = x^2 + x - 6 \end{cases}$$

</Expression>

Step2: 직선 식을 y에 대해 정리

<Expression>
$y = -2x - 2$
</Expression>

Step3: 포물선 식에 대입

<Expression>
$-2x - 2 = x^2 + x - 6$
$x^2 + 3x - 4 = 0$
</Expression>

Step4: 이차방정식 풀기

인수분해하여 x의 값을 구한다.
<Expression>
$(x+4)(x-1) = 0$
$x = -4 \text{ 또는 } x = 1$
</Expression>

Step5: 점 A의 좌표 확인

그래프에서 점 A는 왼쪽 상단에 있으므로 x가 음수인 값을 선택해 y를 구한다.
<Expression>
$x=-4$일 때, $y = -2\times(-4)-2 = 6$
</Expression>

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문제 4

Step1: 연립방정식 간소화

첫 번째 식을 150으로, 두 번째 식을 50으로 나눠 간소화한다.
<Expression>

$$\begin{cases} 3x + 2y = 18 \quad (1) \\ 6x + 5y = 39 \quad (2) \end{cases}$$

</Expression>

Step2: 소거법으로 x 제거

(1)식에 2를 곱한 뒤 (2)식에서 뺀다.
<Expression>
$(6x + 4y) - (6x + 5y) = 36 - 39$
$-y = -3 \implies y = 3$
</Expression>

Step3: y 값을 (1)식에 대입

<Expression>
$3x + 2\times3 = 18$
$3x = 12 \implies x = 4$
</Expression>

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Answer:

1. d. $c=-\frac{1}{a}$
2. a. $3x - 2y = 0$
3. b. $(-4, 6)$
4. $(4, 3)$