Question

1. given $\triangle xps \cong \triangle dnf$, find the values of $x$ and $y$.

two triangles with sides labeled: $\triangle xps$ has $xp = 4y - 3$, $xs = 17x + 3$; $\triangle dnf$ has $fn = 51$, $dn = 57$, $fd = 54$

1. given $\triangle mtw \cong \triangle bgk$, find the values of $x$ and $y$.

two triangles with angles labeled: $\triangle mtw$ has $\angle t = (4x - 3)^\circ$, $\angle w = 41^\circ$; $\triangle bgk$ has $\angle g = 45^\circ$, $\angle b = (11y + 6)^\circ$

1. given $\triangle prs \cong \triangle cfh$, find the values of $x$, $y$, and $z$.

two triangles: $\triangle prs$ has $\angle p = 28^\circ$, $\angle r = (13y - 1)^\circ$ (right angle), $ps = 2x - 7$; $\triangle cfh$ is right-angled at $f$, $cf = 24$, $ch = 39$, $\angle h = (6x - 4)^\circ$

1. if $\triangle abc \cong \triangle def$, $ab = 8$, $bc = 19$, $ac = 14$, $ef = 4x - 1$, and $de = y - 6$, find the values of $x$ and $y$.
2. if $\triangle zmk \cong \triangle apy$, $m\angle m = 112^\circ$, $m\angle y = 41^\circ$, $m\angle k = (13x - 37)^\circ$, and $m\angle a = (2y + 7)^\circ$, find the values of $x$ and $y$.
3. if $\triangle bts \cong \triangle ghd$, $bs = 25$, $ts = 14$, $bt = 31$, $gd = 4x - 11$, $m\angle s = 56^\circ$, $m\angle b = 21^\circ$, and $m\angle h = (7y + 5)^\circ$, find the values of $x$ and $y$.

Explanation:

Explicación:

Problema 7:

Paso 1: Igualar lados correspondientes

Lados congruentes: $4y-3=54$, $17x+3=57$

Paso 2: Resolver para $y$

$4y=54+3 \implies 4y=57 \implies y=\frac{57}{4}=14.25$

Paso 3: Resolver para $x$

$17x=57-3 \implies 17x=54 \implies x=\frac{54}{17}\approx3.18$

---

Problema 8:

Paso 1: Igualar ángulos correspondientes

Ángulos congruentes: $4x-3=41$, $11y+6=90$ (ángulo recto en $\triangle MTW$)

Paso 2: Resolver para $x$

$4x=41+3 \implies 4x=44 \implies x=11$

Paso 3: Resolver para $y$

$11y=90-6 \implies 11y=84 \implies y=\frac{84}{11}\approx7.64$

---

Problema 9:

Paso 1: Igualar lados y ángulos correspondientes

Lados: $2x-7=24$; Ángulos: $13y-1=90$, $6x-4=28$

Paso 2: Resolver para $x$ (por lado)

$2x=24+7 \implies 2x=31 \implies x=15.5$

Paso 3: Resolver para $y$

$13y=90+1 \implies 13y=91 \implies y=7$

Paso 4: Verificar ángulo para $x$

$6(15.5)-4=93-4=89$ (coincide con el ángulo restante de $\triangle CFH$: $180-90-28=62$? Error, corrección: Ángulo $\angle H = \angle S$, así que $6x-4=180-28-90=62$

Paso 5: Resolver $x$ correctamente

$6x=62+4 \implies 6x=66 \implies x=11$

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Problema 10:

Paso 1: Igualar lados correspondientes

Lados congruentes: $EF=BC$, $DE=AB$

Paso 2: Resolver para $x$

$4x-1=19 \implies 4x=20 \implies x=5$

Paso 3: Resolver para $y$

$y-6=8 \implies y=8+6=14$

---

Problema 11:

Paso 1: Igualar ángulos correspondientes

Ángulos congruentes: $m\angle K=m\angle Y$, $m\angle A=m\angle M$

Paso 2: Resolver para $x$

$13x-37=41 \implies 13x=78 \implies x=6$

Paso 3: Resolver para $y$

$2y+7=112 \implies 2y=105 \implies y=52.5$

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Problema 12:

Paso 1: Igualar lados y ángulos correspondientes

Lados: $GD=TS$; Ángulos: $m\angle H=m\angle S$

Paso 2: Resolver para $x$

$4x-11=14 \implies 4x=25 \implies x=\frac{25}{4}=6.25$

Paso 3: Resolver para $y$

$7y+5=56 \implies 7y=51 \implies y=\frac{51}{7}\approx7.29$

Respuesta:

1. $x=\frac{54}{17}$, $y=\frac{57}{4}$
2. $x=11$, $y=\frac{84}{11}$
3. $x=11$, $y=7$
4. $x=5$, $y=14$
5. $x=6$, $y=52.5$
6. $x=\frac{25}{4}$, $y=\frac{51}{7}$

Answer:

Explicación:

Problema 7:

Paso 1: Igualar lados correspondientes

Lados congruentes: $4y-3=54$, $17x+3=57$

Paso 2: Resolver para $y$

$4y=54+3 \implies 4y=57 \implies y=\frac{57}{4}=14.25$

Paso 3: Resolver para $x$

$17x=57-3 \implies 17x=54 \implies x=\frac{54}{17}\approx3.18$

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Problema 8:

Paso 1: Igualar ángulos correspondientes

Ángulos congruentes: $4x-3=41$, $11y+6=90$ (ángulo recto en $\triangle MTW$)

Paso 2: Resolver para $x$

$4x=41+3 \implies 4x=44 \implies x=11$

Paso 3: Resolver para $y$

$11y=90-6 \implies 11y=84 \implies y=\frac{84}{11}\approx7.64$

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Problema 9:

Paso 1: Igualar lados y ángulos correspondientes

Lados: $2x-7=24$; Ángulos: $13y-1=90$, $6x-4=28$

Paso 2: Resolver para $x$ (por lado)

$2x=24+7 \implies 2x=31 \implies x=15.5$

Paso 3: Resolver para $y$

$13y=90+1 \implies 13y=91 \implies y=7$

Paso 4: Verificar ángulo para $x$

$6(15.5)-4=93-4=89$ (coincide con el ángulo restante de $\triangle CFH$: $180-90-28=62$? Error, corrección: Ángulo $\angle H = \angle S$, así que $6x-4=180-28-90=62$

Paso 5: Resolver $x$ correctamente

$6x=62+4 \implies 6x=66 \implies x=11$

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Problema 10:

Paso 1: Igualar lados correspondientes

Lados congruentes: $EF=BC$, $DE=AB$

Paso 2: Resolver para $x$

$4x-1=19 \implies 4x=20 \implies x=5$

Paso 3: Resolver para $y$

$y-6=8 \implies y=8+6=14$

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Problema 11:

Paso 1: Igualar ángulos correspondientes

Ángulos congruentes: $m\angle K=m\angle Y$, $m\angle A=m\angle M$

Paso 2: Resolver para $x$

$13x-37=41 \implies 13x=78 \implies x=6$

Paso 3: Resolver para $y$

$2y+7=112 \implies 2y=105 \implies y=52.5$

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Problema 12:

Paso 1: Igualar lados y ángulos correspondientes

Lados: $GD=TS$; Ángulos: $m\angle H=m\angle S$

Paso 2: Resolver para $x$

$4x-11=14 \implies 4x=25 \implies x=\frac{25}{4}=6.25$

Paso 3: Resolver para $y$

$7y+5=56 \implies 7y=51 \implies y=\frac{51}{7}\approx7.29$

Respuesta:

1. $x=\frac{54}{17}$, $y=\frac{57}{4}$
2. $x=11$, $y=\frac{84}{11}$
3. $x=11$, $y=7$
4. $x=5$, $y=14$
5. $x=6$, $y=52.5$
6. $x=\frac{25}{4}$, $y=\frac{51}{7}$