Question

graph each equation.

1. \\(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1\\)

Explanation:

Step1: 识别椭圆标准方程

椭圆的标准方程为\(\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}} = 1\)（\(a>b>0\)，焦点在\(y\)轴上），给定方程\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\)，可变形为\(\frac{x^{2}}{2^{2}}+\frac{y^{2}}{3^{2}} = 1\)，所以\(a = 3\)，\(b = 2\)，焦点在\(y\)轴上。

Step2: 求顶点坐标

• 当\(x = 0\)时，\(\frac{0^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\)，即\(y^{2}=9\)，解得\(y=\pm3\)，所以椭圆与\(y\)轴的交点（顶点）为\((0, 3)\)和\((0, - 3)\)。
• 当\(y = 0\)时，\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{0^{2}}{9}=1\)，即\(x^{2}=4\)，解得\(x=\pm2\)，所以椭圆与\(x\)轴的交点为\((2, 0)\)和\((-2, 0)\)。

Step3: 绘制椭圆

根据上述顶点坐标\((0, 3)\)、\((0, - 3)\)、\((2, 0)\)、\((-2, 0)\)，用平滑曲线连接这些点，即可画出椭圆\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的图像。

（注：由于是文本形式，这里描述绘制过程，实际绘图需在坐标系中根据顶点绘制。）

Answer:

椭圆\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的图像是以\((0,\pm3)\)为长轴顶点，\((\pm2,0)\)为短轴顶点，焦点在\(y\)轴上的椭圆，绘制时连接\((0, 3)\)、\((0, - 3)\)、\((2, 0)\)、\((-2, 0)\)等顶点并平滑曲线即可。