Question

1. la table de valeurs suivantes représente le plongeon dun dauphin dans un bain - marin de 200 m de profondeur sur une durée de 10 secondes. cette situation est représentée par une fonction quadratique.

plongeon dun dauphin

temps (sec)	0	4	6	10
profondeur (mètres)	0	-32	-72	-200

a) déterminez la règle associée à cette situation.
b) à quel moment le dauphin atteint - il une profondeur de 160 mètres?
c) à quelle profondeur se trouve le dauphin après 14 secondes?

Explanation:

Step1: Assume quadratic function

Let the quadratic function be $y = ax^{2}+bx + c$. When $x = 0$, $y=0$, so $c = 0$. The function becomes $y=ax^{2}+bx$.

Step2: Substitute points

Substitute $(x = 4,y=-32)$ and $(x = 6,y = - 72)$ into $y=ax^{2}+bx$.
For $(4,-32)$: $-32=a\times4^{2}+b\times4$, which simplifies to $-32 = 16a+4b$, or $- 8=4a + b$.
For $(6,-72)$: $-72=a\times6^{2}+b\times6$, which simplifies to $-72 = 36a+6b$, or $-12 = 6a + b$.

Step3: Solve for a and b

Subtract the first - derived equation from the second:
$(-12-( - 8))=(6a + b-(4a + b))$.
$-4=2a$, so $a=-2$.
Substitute $a = - 2$ into $-8 = 4a + b$, we get $-8=4\times(-2)+b$, $b = 0$.
The function is $y=-2x^{2}$.

Step4: Solve part b

Set $y=-160$, then $-160=-2x^{2}$.
$x^{2}=80$, $x=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\approx8.94$ seconds.

Step5: Solve part c

When $x = 14$, $y=-2\times14^{2}=-2\times196=-392$ metres.

Answer:

a) The rule is $y=-2x^{2}$.
b) Approximately $8.94$ seconds.
c) $-392$ metres.