Question

$$lim_{x \to 3}\frac{\frac{1}{x + 2}-\frac{1}{5}}{x - 3}$$

Explanation:

Step1: Simplifier le numérateur

Trouver un dénominateur commun pour $\frac{1}{x + 2}-\frac{1}{5}$. Le dénominateur commun est $5(x + 2)$.
$\frac{1}{x + 2}-\frac{1}{5}=\frac{5-(x + 2)}{5(x + 2)}=\frac{5 - x - 2}{5(x + 2)}=\frac{3 - x}{5(x + 2)}$

Step2: Réécrire la limite

La limite initiale $\lim_{x
ightarrow3}\frac{\frac{1}{x + 2}-\frac{1}{5}}{x - 3}$ devient $\lim_{x
ightarrow3}\frac{\frac{3 - x}{5(x + 2)}}{x - 3}=\lim_{x
ightarrow3}\frac{3 - x}{5(x + 2)(x - 3)}$

Step3: Simplifier l'expression

On peut écrire $3 - x=-(x - 3)$. Alors $\lim_{x
ightarrow3}\frac{3 - x}{5(x + 2)(x - 3)}=\lim_{x
ightarrow3}\frac{-(x - 3)}{5(x + 2)(x - 3)}$
On peut annuler $(x - 3)$ (car $x
eq3$ lors du calcul de la limite), on obtient $\lim_{x
ightarrow3}\frac{-1}{5(x + 2)}$

Step4: Calculer la limite

Remplace $x$ par $3$ dans $\frac{-1}{5(x + 2)}$. On a $\frac{-1}{5\times(3 + 2)}=\frac{-1}{25}$

Answer:

$-\frac{1}{25}$