Question

one vertex of a triangle is located at (0, 5) on a coordinate grid. after a transformation, the vertex is located at (5, 0). which transformations could have taken place? select two options. r0, 90° r0, 180° r0, 270° r0, -90° r0, -180°

Explanation:

Step1: Recordar fórmulas de rotación

En un plano cartesiano, la rotación de un punto $(x,y)$ alrededor del origen $(0,0)$ se calcula según fórmulas. Para una rotación $R_{0,\theta}$ donde $\theta$ es el ángulo de rotación.

Step2: Analizar rotación de $(5,0)$ a $(0,5)$

Para un punto $(x = 5,y = 0)$ que se transforma a $(x'=0,y' = 5)$. Si consideramos la fórmula de rotación en el plano cartesiano $x'=x\cos\theta - y\sin\theta$ y $y'=x\sin\theta + y\cos\theta$. Sustituyendo $x = 5,y = 0$ en $x'=x\cos\theta - y\sin\theta$ y $y'=x\sin\theta + y\cos\theta$, para obtener $x' = 0$ y $y'=5$, el ángulo $\theta = 90^{\circ}$ ya que $x'=5\cos90^{\circ}-0\sin90^{\circ}=0$ y $y'=5\sin90^{\circ}+0\cos90^{\circ}=5$. También, una rotación de $- 270^{\circ}$ es equivalente a una rotación de $90^{\circ}$ (ya que $-270^{\circ}+360^{\circ}=90^{\circ}$).

Step3: Analizar otras opciones

Para $\theta=-90^{\circ}$, $x'=5\cos(-90^{\circ})-0\sin(-90^{\circ}) = 0$ y $y'=5\sin(-90^{\circ})+0\cos(-90^{\circ})=- 5$. Para $\theta = 180^{\circ}$, $x'=5\cos180^{\circ}-0\sin180^{\circ}=-5$ y $y'=5\sin180^{\circ}+0\cos180^{\circ}=0$. Para $\theta=-180^{\circ}$, $x'=5\cos(-180^{\circ})-0\sin(-180^{\circ})=-5$ y $y'=5\sin(-180^{\circ})+0\cos(-180^{\circ})=0$.

Answer:

$R_{0,90^{\circ}},R_{0, - 270^{\circ}}$