Question

per ______
graph the quadratic function in intercept form ( y = a(x - p)(x - q) )

1. ( f(x) = (x - 2)(x + 4) )

a) axis of symmetry ( x = )
b) vertex = ( , )
c) min value = or max value =
d) domain range

1. ( f(x) = (x + 1)(x - 3) )

a) axis of symmetry ( x = )
b) vertex = ( , )
c) min value = or max value =
d) domain range

1. ( f(x) = -(x - 4)(x + 2) )

a) axis of symmetry ( x = )
b) vertex = ( , )
c) min value = max value =
d) domain range

1. ( f(x) = -(x - 3)(x - 3) )

a) axis of symmetry ( x = )
b) vertex = ( , )
c) min value = or max value =
d) domain range

Explanation:

1) \( f(x) = (x - 2)(x + 4) \)

a) Eje de simetría

Paso 1: Encontrar las intersecciones con el eje x

Las raíces son \( x = 2 \) y \( x = -4 \).

Paso 2: Calcular el eje de simetría

El eje de simetría es el promedio de las raíces: \( x = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

b) Vértice

Paso 1: Sustituir \( x = -1 \) en \( f(x) \)

\( f(-1) = (-1 - 2)(-1 + 4) = (-3)(3) = -9 \)

Paso 2: Vértice es \( (-1, -9) \)

c) Valor mínimo/máximo

La parábola abre hacia arriba ( \( a = 1 > 0 \) ), así que tiene un valor mínimo en el vértice.
Valor mínimo = \( -9 \)

d) Dominio y rango

Dominio: Todas las reales, \( (-\infty, \infty) \)
Rango: \( y \geq -9 \) (ya que el vértice es el punto más bajo)

2) \( f(x) = (x + 1)(x - 3) \)

a) Eje de simetría

Paso 1: Encontrar las raíces

\( x = -1 \) y \( x = 3 \)

Paso 2: Promedio de las raíces

\( x = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

b) Vértice

Paso 1: Sustituir \( x = 1 \) en \( f(x) \)

\( f(1) = (1 + 1)(1 - 3) = (2)(-2) = -4 \)

Paso 2: Vértice es \( (1, -4) \)

c) Valor mínimo/máximo

\( a = 1 > 0 \), abre hacia arriba, valor mínimo = \( -4 \)

d) Dominio y rango

Dominio: \( (-\infty, \infty) \)
Rango: \( y \geq -4 \)

3) \( f(x) = -(x - 4)(x + 2) \)

a) Eje de simetría

Paso 1: Encontrar las raíces

\( x = 4 \) y \( x = -2 \)

Paso 2: Promedio de las raíces

\( x = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

b) Vértice

Paso 1: Sustituir \( x = 1 \) en \( f(x) \)

\( f(1) = -(1 - 4)(1 + 2) = -(-3)(3) = 9 \)

Paso 2: Vértice es \( (1, 9) \)

c) Valor mínimo/máximo

\( a = -1 < 0 \), abre hacia abajo, valor máximo = \( 9 \)

d) Dominio y rango

Dominio: \( (-\infty, \infty) \)
Rango: \( y \leq 9 \)

4) \( f(x) = -(x - 3)(x - 3) = -(x - 3)^2 \)

a) Eje de simetría

La forma es un cuadrado perfecto, el eje de simetría es \( x = 3 \) (ya que la raíz es \( x = 3 \) doble)

b) Vértice

Paso 1: Sustituir \( x = 3 \) en \( f(x) \)

\( f(3) = -(3 - 3)^2 = 0 \)

Paso 2: Vértice es \( (3, 0) \)

c) Valor mínimo/máximo

\( a = -1 < 0 \), abre hacia abajo, valor máximo = \( 0 \)

d) Dominio y rango

Dominio: \( (-\infty, \infty) \)
Rango: \( y \leq 0 \)

Respuestas:

1)
a) \( x = -1 \)
b) \( (-1, -9) \)
c) Valor mínimo = \( -9 \)
d) Dominio: \( (-\infty, \infty) \), Rango: \( y \geq -9 \)

2)
a) \( x = 1 \)
b) \( (1, -4) \)
c) Valor mínimo = \( -4 \)
d) Dominio: \( (-\infty, \infty) \), Rango: \( y \geq -4 \)

3)
a) \( x = 1 \)
b) \( (1, 9) \)
c) Valor máximo = \( 9 \)
d) Dominio: \( (-\infty, \infty) \), Rango: \( y \leq 9 \)

4)
a) \( x = 3 \)
b) \( (3, 0) \)
c) Valor máximo = \( 0 \)
d) Dominio: \( (-\infty, \infty) \), Rango: \( y \leq 0 \)

Answer:

1) \( f(x) = (x - 2)(x + 4) \)

a) Eje de simetría

Paso 1: Encontrar las intersecciones con el eje x

Las raíces son \( x = 2 \) y \( x = -4 \).

Paso 2: Calcular el eje de simetría

El eje de simetría es el promedio de las raíces: \( x = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

b) Vértice

Paso 1: Sustituir \( x = -1 \) en \( f(x) \)

\( f(-1) = (-1 - 2)(-1 + 4) = (-3)(3) = -9 \)

Paso 2: Vértice es \( (-1, -9) \)

c) Valor mínimo/máximo

La parábola abre hacia arriba ( \( a = 1 > 0 \) ), así que tiene un valor mínimo en el vértice.
Valor mínimo = \( -9 \)

d) Dominio y rango

Dominio: Todas las reales, \( (-\infty, \infty) \)
Rango: \( y \geq -9 \) (ya que el vértice es el punto más bajo)

2) \( f(x) = (x + 1)(x - 3) \)

a) Eje de simetría

Paso 1: Encontrar las raíces

\( x = -1 \) y \( x = 3 \)

Paso 2: Promedio de las raíces

\( x = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

b) Vértice

Paso 1: Sustituir \( x = 1 \) en \( f(x) \)

\( f(1) = (1 + 1)(1 - 3) = (2)(-2) = -4 \)

Paso 2: Vértice es \( (1, -4) \)

c) Valor mínimo/máximo

\( a = 1 > 0 \), abre hacia arriba, valor mínimo = \( -4 \)

d) Dominio y rango

Dominio: \( (-\infty, \infty) \)
Rango: \( y \geq -4 \)

3) \( f(x) = -(x - 4)(x + 2) \)

a) Eje de simetría

Paso 1: Encontrar las raíces

\( x = 4 \) y \( x = -2 \)

Paso 2: Promedio de las raíces

\( x = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

b) Vértice

Paso 1: Sustituir \( x = 1 \) en \( f(x) \)

\( f(1) = -(1 - 4)(1 + 2) = -(-3)(3) = 9 \)

Paso 2: Vértice es \( (1, 9) \)

c) Valor mínimo/máximo

\( a = -1 < 0 \), abre hacia abajo, valor máximo = \( 9 \)

d) Dominio y rango

Dominio: \( (-\infty, \infty) \)
Rango: \( y \leq 9 \)

4) \( f(x) = -(x - 3)(x - 3) = -(x - 3)^2 \)

a) Eje de simetría

La forma es un cuadrado perfecto, el eje de simetría es \( x = 3 \) (ya que la raíz es \( x = 3 \) doble)

b) Vértice

Paso 1: Sustituir \( x = 3 \) en \( f(x) \)

\( f(3) = -(3 - 3)^2 = 0 \)

Paso 2: Vértice es \( (3, 0) \)

c) Valor mínimo/máximo

\( a = -1 < 0 \), abre hacia abajo, valor máximo = \( 0 \)

d) Dominio y rango

Dominio: \( (-\infty, \infty) \)
Rango: \( y \leq 0 \)

Respuestas:

1)
a) \( x = -1 \)
b) \( (-1, -9) \)
c) Valor mínimo = \( -9 \)
d) Dominio: \( (-\infty, \infty) \), Rango: \( y \geq -9 \)

2)
a) \( x = 1 \)
b) \( (1, -4) \)
c) Valor mínimo = \( -4 \)
d) Dominio: \( (-\infty, \infty) \), Rango: \( y \geq -4 \)

3)
a) \( x = 1 \)
b) \( (1, 9) \)
c) Valor máximo = \( 9 \)
d) Dominio: \( (-\infty, \infty) \), Rango: \( y \leq 9 \)

4)
a) \( x = 3 \)
b) \( (3, 0) \)
c) Valor máximo = \( 0 \)
d) Dominio: \( (-\infty, \infty) \), Rango: \( y \leq 0 \)