Question

practice problems
1 a. write equations for the lines shown.

b. describe how to find the solution to the corresponding system by looking at the graph.

c. describe how to find the solution to the corresponding system by using the equations.

Explanation:

Part a

Step 1: Analizar la línea roja (y = 3x + 2)

Para una línea en la forma \( y = mx + b \), \( m \) es la pendiente y \( b \) es la intersección con el eje \( y \). Observando la gráfica, la línea roja cruza el eje \( y \) en \( (0, 2) \), así que \( b = 2 \). Para encontrar la pendiente \( m \), usamos dos puntos. Tomamos \( (0, 2) \) y \( (1, 5) \) (o cualquier otro par de puntos en la línea). La pendiente \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 2}{1 - 0} = 3 \). Entonces la ecuación es \( y = 3x + 2 \).

Step 2: Analizar la línea azul (y = -3x + 8)

La línea azul cruza el eje \( y \) en \( (0, 8) \), así que \( b = 8 \). Tomamos dos puntos, por ejemplo, \( (0, 8) \) y \( (1, 5) \). La pendiente \( m = \frac{5 - 8}{1 - 0} = -3 \). Entonces la ecuación es \( y = -3x + 8 \).

Para encontrar la solución del sistema de ecuaciones a partir de la gráfica, debemos identificar el punto de intersección de las dos líneas. El punto donde las dos líneas se cortan es la solución del sistema, ya que representa el par de valores \( (x, y) \) que satisface ambas ecuaciones al mismo tiempo. Observando la gráfica, las líneas se intersectan en el punto \( (1, 5) \) (o el punto donde las dos líneas se crucen).

Step 1: Establecer las ecuaciones iguales

Tenemos las ecuaciones \( y = 3x + 2 \) y \( y = -3x + 8 \). Como ambas expresan \( y \) en términos de \( x \), podemos igualarlas:
\( 3x + 2 = -3x + 8 \)

Step 2: Resolver para \( x \)

Sumamos \( 3x \) a ambos lados:
\( 3x + 3x + 2 = 8 \)
\( 6x + 2 = 8 \)

Restamos 2 de ambos lados:
\( 6x = 8 - 2 \)
\( 6x = 6 \)

Dividimos por 6:
\( x = \frac{6}{6} = 1 \)

Step 3: Encontrar \( y \)

Sustituimos \( x = 1 \) en una de las ecuaciones, por ejemplo, \( y = 3x + 2 \):
\( y = 3(1) + 2 = 3 + 2 = 5 \)

Answer:

Línea roja: \( y = 3x + 2 \)
Línea azul: \( y = -3x + 8 \)

Part b