Question

in problems 37 - 44, find the standard form of the equation of each circle. 37. center at the origin and containing the point (-2, 3) 39. center (2, 3) and tangent to the x - axis 41. with endpoints of a diameter at (1, 4) and (-3, 2) 43. center (-1, 3) and tangent to the line y = 2

Explanation:

Step1: Recordar la fórmula estándar de la ecuación de un círculo

La ecuación estándar de un círculo con centro $(h,k)$ y radio $r$ es $(x - h)^2+(y - k)^2=r^2$.

Step2: Resolver el problema 37

El centro está en el origen $(0,0)$, es decir $h = 0,k = 0$. El círculo contiene el punto $(-2,3)$. El radio $r$ es la distancia entre el centro $(0,0)$ y el punto $(-2,3)$. Usando la fórmula de la distancia $d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$, tenemos $r=\sqrt{(-2 - 0)^2+(3 - 0)^2}=\sqrt{4 + 9}=\sqrt{13}$. Entonces la ecuación del círculo es $(x-0)^2+(y - 0)^2=(\sqrt{13})^2$, es decir $x^{2}+y^{2}=13$.

Step3: Resolver el problema 39

El centro es $(h,k)=(2,3)$. El círculo es tangente al eje $x$. El radio $r$ es la distancia entre el centro $(2,3)$ y el eje $x$, es decir $r = 3$. La ecuación del círculo es $(x - 2)^2+(y - 3)^2=9$.

Step4: Resolver el problema 41

El centro $(h,k)$ del círculo es el punto medio de los extremos del diámetro. El punto medio de los puntos $(x_1,y_1)=(1,4)$ y $(x_2,y_2)=(-3,2)$ se calcula como $h=\frac{1+( - 3)}{2}=-1$ y $k=\frac{4 + 2}{2}=3$. El radio $r$ es la distancia entre el centro $(-1,3)$ y uno de los extremos del diámetro, por ejemplo $(1,4)$. $r=\sqrt{(1+1)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{4 + 1}=\sqrt{5}$. La ecuación del círculo es $(x + 1)^2+(y - 3)^2=5$.

Step5: Resolver el problema 43

El centro es $(h,k)=(-1,3)$. El círculo es tangente a la línea $y = 2$. El radio $r$ es la distancia entre el centro $(-1,3)$ y la línea $y=2$, es decir $r=\vert3 - 2\vert = 1$. La ecuación del círculo es $(x + 1)^2+(y - 3)^2=1$.

Answer:

1. $x^{2}+y^{2}=13$
2. $(x - 2)^2+(y - 3)^2=9$
3. $(x + 1)^2+(y - 3)^2=5$
4. $(x + 1)^2+(y - 3)^2=1$