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Question
segment and angle proofs extra practice
write the letter of the property, definition, or postulate that justifies each statement.
- $qr = qr$
- if $ab = cd$, then $ab+ef = cd + ef$
- if $rs + tu=xy$ and $tu = wv$, then $rs+wv = xy$
- $jk = lm$, then $overline{jk}congoverline{lm}$
- if $overline{ab}congoverline{bc}$ and $overline{bc}congoverline{ce}$, then $overline{ab}congoverline{ce}$
- if $2xy = yz$, then $xy=\frac{1}{2}yz$
- if $q$ is between $p$ and $r$, then $pq + qr=pr$
- if $2kl = kl+mn$, then $kl = mn$
- given: $2pq = pr$
prove: $q$ is the mid - point of $overline{pr}$
statements\treasons
- \t1. given
- \t2. segment addition postulate
- $2pq = pq + qr$\t3.
- $pq = qr$\t4.
- \t5. definition of midpoint
- given: $overline{ab}congoverline{cd}$, $overline{bd}congoverline{de}$
prove: $overline{ad}congoverline{ce}$
statements\treasons
- $overline{ab}congoverline{cd}$, $overline{bd}congoverline{de}$\t1. given
- \t2. definition of congruence
- $ab + bd = ad$\t3.
- $cd + de = ad$\t4.
- \t5. segment addition postulate
- $ad = ce$\t6.
- \t7. definition of congruence
a. addition property of equality
b. subtraction property of equality
c. multiplication property of equality
d. division property of equality
e. substitution property
f. reflexive property (of = or $cong$)
g. symmetric property (of = or $cong$)
h. transitive property (of = or $cong$)
i. definition of congruence
j. definition of midpoint
k. segment addition postulate
Response
Explicación:
Paso 1: Completar la prueba del punto medio
- Enunciado 2: Por el postulado de adición de segmentos, si $Q$ está entre $P$ y $R$, entonces $PQ + QR=PR$.
- Razón 3: Sustituimos $PR$ por $2PQ$ (dado) en la ecuación $PQ + QR = PR$, obteniendo $2PQ=PQ + QR$.
- Razón 4: Aplicamos la propiedad de sustracción de igualdad. Restamos $PQ$ de ambos lados de la ecuación $2PQ=PQ + QR$, lo que da $PQ = QR$.
- Enunciado 5: Como $PQ = QR$, por la definición de punto medio, $Q$ es el punto medio de $\overline{PR}$.
Paso 2: Completar la prueba de congruencia de segmentos
- Enunciado 2: Por la definición de congruencia, si $\overline{AB}\cong\overline{CD}$ y $\overline{BD}\cong\overline{DE}$, entonces $AB = CD$ y $BD=DE$.
- Razón 3: Por el postulado de adición de segmentos, $AB + BD=AD$.
- Razón 4: Sustituimos $AB$ por $CD$ y $BD$ por $DE$ (por congruencia y definición de congruencia) en la ecuación $AB + BD = AD$, obteniendo $CD + DE=AD$.
- Enunciado 5: Por el postulado de adición de segmentos, $CD + DE = CE$.
- Razón 6: Como $CD + DE=AD$ y $CD + DE = CE$, entonces $AD = CE$ por la propiedad transitiva de la igualdad.
- Enunciado 7: Por la definición de congruencia, si $AD = CE$, entonces $\overline{AD}\cong\overline{CE}$.
Respuesta:
Prueba del punto medio
| Enunciados | Razones |
|---|---|
| 2. $PQ+QR = PR$ | 2. Postulado de adición de segmentos |
| 3. $2PQ=PQ + QR$ | 3. Sustitución |
| 4. $PQ = QR$ | 4. Propiedad de sustracción de igualdad |
| 5. $Q$ es el punto medio de $\overline{PR}$ | 5. Definición de punto medio |
Prueba de congruencia de segmentos
| Enunciados | Razones |
|---|---|
| 2. $AB = CD,BD = DE$ | 2. Definición de congruencia |
| 3. $AB + BD=AD$ | 3. Postulado de adición de segmentos |
| 4. $CD + DE=AD$ | 4. Sustitución |
| 5. $CD + DE = CE$ | 5. Postulado de adición de segmentos |
| 6. $AD = CE$ | 6. Propiedad transitiva de la igualdad |
| 7. $\overline{AD}\cong\overline{CE}$ | 7. Definición de congruencia |
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Explicación:
Paso 1: Completar la prueba del punto medio
- Enunciado 2: Por el postulado de adición de segmentos, si $Q$ está entre $P$ y $R$, entonces $PQ + QR=PR$.
- Razón 3: Sustituimos $PR$ por $2PQ$ (dado) en la ecuación $PQ + QR = PR$, obteniendo $2PQ=PQ + QR$.
- Razón 4: Aplicamos la propiedad de sustracción de igualdad. Restamos $PQ$ de ambos lados de la ecuación $2PQ=PQ + QR$, lo que da $PQ = QR$.
- Enunciado 5: Como $PQ = QR$, por la definición de punto medio, $Q$ es el punto medio de $\overline{PR}$.
Paso 2: Completar la prueba de congruencia de segmentos
- Enunciado 2: Por la definición de congruencia, si $\overline{AB}\cong\overline{CD}$ y $\overline{BD}\cong\overline{DE}$, entonces $AB = CD$ y $BD=DE$.
- Razón 3: Por el postulado de adición de segmentos, $AB + BD=AD$.
- Razón 4: Sustituimos $AB$ por $CD$ y $BD$ por $DE$ (por congruencia y definición de congruencia) en la ecuación $AB + BD = AD$, obteniendo $CD + DE=AD$.
- Enunciado 5: Por el postulado de adición de segmentos, $CD + DE = CE$.
- Razón 6: Como $CD + DE=AD$ y $CD + DE = CE$, entonces $AD = CE$ por la propiedad transitiva de la igualdad.
- Enunciado 7: Por la definición de congruencia, si $AD = CE$, entonces $\overline{AD}\cong\overline{CE}$.
Respuesta:
Prueba del punto medio
| Enunciados | Razones |
|---|---|
| 2. $PQ+QR = PR$ | 2. Postulado de adición de segmentos |
| 3. $2PQ=PQ + QR$ | 3. Sustitución |
| 4. $PQ = QR$ | 4. Propiedad de sustracción de igualdad |
| 5. $Q$ es el punto medio de $\overline{PR}$ | 5. Definición de punto medio |
Prueba de congruencia de segmentos
| Enunciados | Razones |
|---|---|
| 2. $AB = CD,BD = DE$ | 2. Definición de congruencia |
| 3. $AB + BD=AD$ | 3. Postulado de adición de segmentos |
| 4. $CD + DE=AD$ | 4. Sustitución |
| 5. $CD + DE = CE$ | 5. Postulado de adición de segmentos |
| 6. $AD = CE$ | 6. Propiedad transitiva de la igualdad |
| 7. $\overline{AD}\cong\overline{CE}$ | 7. Definición de congruencia |