Question

sketch a graph of $f(x)=\

$$\begin{cases} -3 & \\text{if } x \\leq -1 \\\\ x & \\text{if } -1 < x \\leq 2 \\\\ 1 & \\text{if } x > 2 \\end{cases}$$

$
note: be sure to include closed or open dots as needed

Explanation:

Step1: Graficar la primera parte

Para $x \leq -1$, $f(x) = -3$. Se dibuja una recta horizontal en $y=-3$ desde $x=-\infty$ hasta $x=-1$, con un punto cerrado en $(-1, -3)$ (porque la desigualdad es $\leq$).

Step2: Graficar la segunda parte

Para $-1 < x \leq 2$, $f(x) = x$. Se dibuja la recta $y=x$ desde $x=-1$ (punto abierto en $(-1, -1)$) hasta $x=2$ (punto cerrado en $(2, 2)$), ya que la desigualdad es $<$ en $x=-1$ y $\leq$ en $x=2$.

Step3: Graficar la tercera parte

Para $x > 2$, $f(x) = 1$. Se dibuja una recta horizontal en $y=1$ desde $x=2$ (punto abierto en $(2, 1)$) hasta $x=+\infty$.

Descripción detallada de la gráfica:

1. Rama izquierda: Recta horizontal en $y=-3$, que va desde el extremo izquierdo del plano hasta el punto $(-1, -3)$ (punto cerrado, ya que $x=-1$ pertenece a este intervalo).
2. Rama central: Segmento de la recta $y=x$, que empieza con un punto abierto en $(-1, -1)$ (ya que $x=-1$ no pertenece a este intervalo) y termina con un punto cerrado en $(2, 2)$ (ya que $x=2$ pertenece a este intervalo).
3. Rama derecha: Recta horizontal en $y=1$, que empieza con un punto abierto en $(2, 1)$ (ya que $x=2$ no pertenece a este intervalo) y se extiende hacia el extremo derecho del plano.

Representación en tabla (puntos clave):

Intervalo de $x$	Función $f(x)$	Puntos clave (tipo de punto)
$-1 < x \leq 2$	$f(x) = x$	$(-1, -1)$ (abierto), $(2, 2)$ (cerrado), $(0,0)$
$x > 2$	$f(x) = 1$	$(2, 1)$ (abierto), $(5, 1)$

Answer:

Step1: Graficar la primera parte

Para $x \leq -1$, $f(x) = -3$. Se dibuja una recta horizontal en $y=-3$ desde $x=-\infty$ hasta $x=-1$, con un punto cerrado en $(-1, -3)$ (porque la desigualdad es $\leq$).

Step2: Graficar la segunda parte

Para $-1 < x \leq 2$, $f(x) = x$. Se dibuja la recta $y=x$ desde $x=-1$ (punto abierto en $(-1, -1)$) hasta $x=2$ (punto cerrado en $(2, 2)$), ya que la desigualdad es $<$ en $x=-1$ y $\leq$ en $x=2$.

Step3: Graficar la tercera parte

Para $x > 2$, $f(x) = 1$. Se dibuja una recta horizontal en $y=1$ desde $x=2$ (punto abierto en $(2, 1)$) hasta $x=+\infty$.

Descripción detallada de la gráfica:

1. Rama izquierda: Recta horizontal en $y=-3$, que va desde el extremo izquierdo del plano hasta el punto $(-1, -3)$ (punto cerrado, ya que $x=-1$ pertenece a este intervalo).
2. Rama central: Segmento de la recta $y=x$, que empieza con un punto abierto en $(-1, -1)$ (ya que $x=-1$ no pertenece a este intervalo) y termina con un punto cerrado en $(2, 2)$ (ya que $x=2$ pertenece a este intervalo).
3. Rama derecha: Recta horizontal en $y=1$, que empieza con un punto abierto en $(2, 1)$ (ya que $x=2$ no pertenece a este intervalo) y se extiende hacia el extremo derecho del plano.

Representación en tabla (puntos clave):

Intervalo de $x$	Función $f(x)$	Puntos clave (tipo de punto)
$-1 < x \leq 2$	$f(x) = x$	$(-1, -1)$ (abierto), $(2, 2)$ (cerrado), $(0,0)$
$x > 2$	$f(x) = 1$	$(2, 1)$ (abierto), $(5, 1)$