Question

1. the two lines ( l_1 ) and ( l_2 ) are drawn in the following cartesian plane. line ( l_1 ) is perpendicular to line ( l_2 ). the point of intersection of the two lines ( l_1 ) and ( l_2 ) is on the ( y )-axis.

the equation of line ( l_1 ) is: ( \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1 )
what is the equation of line ( l_2 )?
a) ( y = -2x ) \t\tc) ( y = \frac{2}{3}x + 3 )
b) ( y = -\frac{2}{3}x + 3 ) \t\td) ( y = \frac{2}{3}x + 2 )

1. the quadratic function ( f ), and the linear function ( g ), are represented in the following cartesian plane. functions ( f ) and ( g ) have the same initial value. function ( g ) passes through the vertex ( v ) of the parabola ( f ).

if the rule of function ( f ) is given by ( f(x) = x^2 - 6x + 8 ), what is the rule of function ( g )?
a) ( y = 3x + 8 ) \t\tc) ( y = -3x + 7 )
b) ( y = -3x ) \t\td) ( y = -3x + 8 )

1. in the triangle ( abc ) on the right, we have: ( mangle b = 35^circ ); ( mangle c = 25^circ ) and ( moverline{ab} = 12 ) cm.

what is the length of side ( bc ), rounded to the nearest tenth?
a) ( 16.3 ) cm \t\tc) ( 6.6 ) cm
b) ( 24.6 ) cm \t\td) ( 28.3 ) cm

Explanation:

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문제 1

Step1: ℓ₁의 기울기 구하기

주어진 ℓ₁의 방정식 $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1$을 기울기-절편형으로 변환합니다.
$\frac{y}{3} = -\frac{x}{2} + 1$
$y = -\frac{3}{2}x + 3$
따라서 ℓ₁의 기울기 $m_1 = -\frac{3}{2}$ 입니다.

Step2: 수직선의 기울기 구하기

두 직선이 수직이면 기울기의 곱이 $-1$ 입니다. ℓ₂의 기울기를 $m_2$라 하면:
$m_1 \times m_2 = -1$
$-\frac{3}{2} \times m_2 = -1$
$m_2 = \frac{2}{3}$

Step3: ℓ₂의 y절편 구하기

두 직선의 교점이 y축 위에 있으므로, ℓ₁의 y절편과 동일합니다. ℓ₁의 y절편은 $3$이므로, ℓ₂의 방정식은 $y = \frac{2}{3}x + 3$ 입니다.

Step1: 초기값(y절편) 구하기

초기값은 $x=0$일 때의 함숫값입니다. $f(0) = 0^2 - 6\times0 + 8 = 8$ 이므로, $g$의 y절편은 $8$ 입니다.

Step2: 포물선의 정점 구하기

$f(x)=x^2-6x+8$을 완전제곱형으로 변환합니다:
$f(x) = (x-3)^2 - 9 + 8 = (x-3)^2 -1$
따라서 정점 $V$의 좌표는 $(3, -1)$ 입니다.

Step3: g의 기울기 구하기

$g$는 $(0,8)$과 $(3,-1)$을 지나는 직선이므로, 기울기 $m$은:
$m = \frac{-1 - 8}{3 - 0} = \frac{-9}{3} = -3$
따라서 $g$의 방정식은 $y = -3x + 8$ 입니다.

Step1: ∠A의 크기 구하기

삼각형의 내각 합은 $180^\circ$ 이므로:
$\angle A = 180^\circ - 35^\circ - 25^\circ = 120^\circ$

Step2: 사인법칙으로 BC 구하기

사인법칙은 $\frac{BC}{\sin \angle A} = \frac{AB}{\sin \angle C}$ 입니다. 주어진 값을 대입하면:
$BC = \frac{AB \times \sin \angle A}{\sin \angle C}$
$BC = \frac{12 \times \sin 120^\circ}{\sin 25^\circ}$
$\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$, $\sin 25^\circ \approx 0.4226$
$BC \approx \frac{12 \times 0.866}{0.4226} \approx 24.6$

Answer:

C) $y=\frac{2}{3}x + 3$

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문제 2