Question

unit 4, lesson 1
properties of exponents
lets use integer exponents.
1.1 which three go together: exponents and equations
which three go together? why do they go together?
a
$2^3 = 9$

b
$9 = 3^2$

c
$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$

d
$a \cdot 2^0 = a$

1.2 name that power
find the value of each variable that makes the equation true. be prepared to explain your reasoning.

1. $2^3 \cdot 2^5 = 2^a$
2. $3^b \cdot 3^7 = 3^{11}$
3. $\frac{4^3}{4^2} = 4^c$
4. $\frac{5^8}{5^d} = 5^2$
5. $6^m \cdot 6^m \cdot 6^m = 6^{21}$
6. $(7^n)^4 = 7^{20}$
7. $2^4 \cdot 3^4 = 6^s$
8. $5^3 \cdot t^3 = 50^3$

Explanation:

Parte 1: Which Three Go Together?

Las expresiones válidas con exponentes que representan igualdades correctas y usan propiedades de exponentes son B, C y D. La expresión A es incorrecta, ya que $2^3=8≠9$.

• B: Representa una igualdad exponencial válida ($9=3^2$, ya que $3×3=9$).
• C: Es la forma expandida de $2^4=16$, que cumple con la definición de potencia.
• D: Usa la propiedad de exponentes nulos ($2^0=1$, por lo que $a×1=a$).

Step1: Propiedad de producto de potencias

Para $2^3 \cdot 2^5 = 2^a$, se suma los exponentes: $3+5=a$
$a=8$

Step2: Propiedad de producto de potencias

Para $3^b \cdot 3^7 = 3^{11}$, se suma los exponentes: $b+7=11$
$b=11-7=4$

Step3: Propiedad de cociente de potencias

Para $\frac{4^3}{4^2}=4^c$, se resta los exponentes: $3-2=c$
$c=1$

Step4: Propiedad de cociente de potencias

Para $\frac{5^8}{5^d}=5^2$, se resta los exponentes: $8-d=2$
$d=8-2=6$

Step5: Propiedad de producto de potencias

Para $6^m \cdot 6^m \cdot 6^m = 6^{21}$, se suma los exponentes: $m+m+m=21$
$3m=21 \implies m=\frac{21}{3}=7$

Step6: Propiedad de potencia de potencia

Para $(7^n)^4=7^{20}$, se multiplica los exponentes: $4n=20$
$n=\frac{20}{4}=5$

Step7: Propiedad de potencia de producto

Para $2^4 \cdot 3^4 = 6^s$, se usa $(x \cdot y)^k=x^k \cdot y^k$, así que $s=4$

Step8: Propiedad de potencia de producto

Para $5^3 \cdot t^3 = 50^3$, se usa $(x \cdot y)^k=x^k \cdot y^k$, así que $5 \cdot t=50$
$t=\frac{50}{5}=10$

Answer:

Las tres que van juntas son B, C y D. Son correctas y usan definiciones o propiedades de exponentes, mientras que A es una igualdad falsa.

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Parte 2: Name That Power