Question

from a viewing height of h feet, the approximate distance d to the horizon, in miles, is given by the equation d = \sqrt{\frac{3h}{2}}
a) to the nearest mile, what is the distance to the horizon from a height of 90 ft? 135 ft? 180 ft?
b) how does the distance to the horizon increase as the height increases?

a) a person could see \square miles from a height of 90 feet.
(simplify your answer. type an exact answer, using radicals as needed. rationalize all denominators.)

Explanation:

Parte a)

Step 1: Identificar la fórmula y el valor de \( h \)

La fórmula para la distancia al horizonte es \( d = \sqrt{\frac{3h}{2}} \), y aquí \( h = 90 \) pies. Sustituimos \( h \) en la fórmula:
\( d = \sqrt{\frac{3 \times 90}{2}} \)

Step 2: Simplificar la expresión dentro de la raíz

Calculamos \( \frac{3 \times 90}{2} \):
\( \frac{270}{2} = 135 \), entonces \( d = \sqrt{135} \)

Step 3: Simplificar la raíz cuadrada

Descomponemos 135 en factores: \( 135 = 9 \times 15 \), y \( \sqrt{9 \times 15} = \sqrt{9} \times \sqrt{15} = 3\sqrt{15} \). Ahora, racionalizamos (aunque en este caso la denominación ya es racional, pero simplificamos):
También podemos calcular el valor numérico, pero la pregunta pide la forma exacta con radicales. Pero si queremos simplificar más, \( \sqrt{135} = 3\sqrt{15} \approx 11.62 \), pero la forma exacta es \( 3\sqrt{15}/\sqrt{1} \) (ya racionalizado). Wait, en realidad, la fórmula es \( d = \sqrt{\frac{3h}{2}} \), entonces para \( h = 90 \):

\( d = \sqrt{\frac{3 \times 90}{2}} = \sqrt{\frac{270}{2}} = \sqrt{135} = \sqrt{9 \times 15} = 3\sqrt{15} \approx 11.62 \), pero la pregunta dice "type an exact answer, using radicals as needed. Rationalize all denominators". Wait, quizás la fórmula es \( d = \sqrt{\frac{3h}{2}} \), entonces:

\( d = \sqrt{\frac{3 \times 90}{2}} = \sqrt{135} = 3\sqrt{15} \) (ya que \( 135 = 9 \times 15 \), y \( \sqrt{9} = 3 \)).

Wait, me equivoqué en la fórmula. Wait, la fórmula es \( d = \sqrt{\frac{3h}{2}} \)? O es \( d = \frac{\sqrt{3h}}{2} \)? Wait, la imagen dice "d = sqrt(3h/2)"? Wait, la imagen muestra la fórmula como \( d = \sqrt{\frac{3h}{2}} \)? O es \( d = \frac{\sqrt{3h}}{2} \)? Wait, la imagen: "d = sqrt(3h/2)"? Wait, la escritura es "d = √(3h/2)"?

Wait, volviendo: la fórmula es \( d = \sqrt{\frac{3h}{2}} \). Entonces para \( h = 90 \):

\( d = \sqrt{\frac{3 \times 90}{2}} = \sqrt{\frac{270}{2}} = \sqrt{135} = \sqrt{9 \times 15} = 3\sqrt{15} \approx 11.62 \), pero la forma exacta es \( 3\sqrt{15} \). Pero si la fórmula fuera \( d = \frac{\sqrt{3h}}{2} \), entonces:

\( d = \frac{\sqrt{3 \times 90}}{2} = \frac{\sqrt{270}}{2} = \frac{\sqrt{9 \times 30}}{2} = \frac{3\sqrt{30}}{2} \approx 11.62 \). Wait, hay ambigüedad en la fórmula. Wait, la imagen dice "d = √(3h/2)"? O "d = (√(3h))/2"?

Wait, la imagen: "d = √(3h/2)"? La escritura es "d = √(3h/2)"? Entonces es \( d = \sqrt{\frac{3h}{2}} \). Entonces para \( h = 90 \):

\( d = \sqrt{\frac{3 \times 90}{2}} = \sqrt{\frac{270}{2}} = \sqrt{135} = 3\sqrt{15} \approx 11.62 \) millas? Wait, no, 90 pies es una altura, y la distancia en millas. Wait, quizás la fórmula es \( d = \sqrt{\frac{3h}{2}} \) con \( h \) en pies y \( d \) en millas? Eso es una conversión de unidades, pero la fórmula ya está ajustada. Entonces:

\( d = \sqrt{\frac{3 \times 90}{2}} = \sqrt{135} = 3\sqrt{15} \approx 11.62 \), pero la forma exacta es \( 3\sqrt{15} \). Pero si queremos simplificar la raíz:

\( \sqrt{135} = \sqrt{9 \times 15} = 3\sqrt{15} \), y racionalizar no es necesario aquí porque no hay denominador con radical. Entonces la respuesta exacta es \( 3\sqrt{15} \) o si calculamos el valor numérico, pero la pregunta dice "type an exact answer, using radicals as needed. Rationalize all denominators". Entonces:

\( d = \sqrt{\frac{3 \times 90}{2}} = \sqrt{135} = 3\sqrt{15} \) (ya racionalizado, ya que no hay denominador con radical).

Parte b)

Primero, calculamos la distancia para \( h = 90 \), \( h = 135 \), \( h = 180 \):

Para \( h = 90 \): \( d_1 = \sqrt{\frac{3 \times 90}{2}} = \sqrt{135} \approx 11.62 \) millas (redondeado a la milla más c…

1. Sustituir \( h = 90 \) en \( d = \sqrt{\frac{3h}{2}} \).
2. Calcular \( \frac{3 \times 90}{2} = 135 \).
3. Simplificar \( \sqrt{135} = 3\sqrt{15} \) (forma exacta) o ~12 millas (redondeado).

Answer:

Para la parte a), la distancia exacta es \( \sqrt{135} = 3\sqrt{15} \) millas (o aproximadamente 12 millas si redondea a la milla más cercana). Pero la pregunta pide la forma exacta con radicales, entonces:

\( d = \sqrt{\frac{3 \times 90}{2}} = \sqrt{135} = 3\sqrt{15} \) (o si se simplifica como \( \frac{3\sqrt{30}}{2} \) si la fórmula fuera \( d = \frac{\sqrt{3h}}{2} \), pero la imagen muestra \( d = \sqrt{\frac{3h}{2}} \)).

Wait, la imagen: "d = √(3h/2)"? Entonces la fórmula es \( d = \sqrt{\frac{3h}{2}} \). Entonces para \( h = 90 \):

\( d = \sqrt{\frac{3 \times 90}{2}} = \sqrt{135} = 3\sqrt{15} \approx 11.62 \), que redondeado a la milla más cercana es 12 millas.

Entonces la respuesta de la parte a) es \( 3\sqrt{15} \) (o ~12 millas, pero la pregunta pide la forma exacta con radicales, racionalizada).

Resumen de la parte a)