Question

for which function does the range only include values of f(x) that are greater than or equal to zero?

a) $f(x)=x^4$

b) $f(x)=-x^4$

c) $f(x)=x^5$

d) $f(x)=-x^5$

Explanation:

Para determinar cuál función tiene un rango con valores de \( f(x) \) mayores o iguales a cero, analizamos cada opción:

• Opción A: \( f(x) = x^4 \). Cualquier número real elevado a la cuarta potencia (una potencia par) da un valor no negativo (ya que \( x^4 = (x^2)^2 \), y \( x^2 \) es no negativo, entonces su cuadrado también lo es). Así, \( f(x) \geq 0 \) para todos los \( x \) reales.
• Opción B: \( f(x) = -x^4 \). Dado que \( x^4 \geq 0 \), entonces \( -x^4 \leq 0 \). El rango incluye valores menores o iguales a cero.
• Opción C: \( f(x) = x^5 \). La quinta potencia de un número negativo es negativo (por ejemplo, \( (-2)^5 = -32 \)) y de un número positivo es positivo (ejemplo, \( 2^5 = 32 \)). Entonces el rango incluye todos los números reales, incluyendo negativos.
• Opción D: \( f(x) = -x^5 \). Similar a la opción C, pero con signo negativo. Si \( x \) es positivo, \( -x^5 \) es negativo; si \( x \) es negativo, \( -x^5 \) es positivo. El rango también incluye todos los números reales.

Answer:

A) \( f(x) = x^4 \)