Question

1-61b. this time, abcd is rotated °180° about the point as shown. copy the diagram (both squares and the point) and label the vertices of the image square below. if you have trouble, consider using tracing paper.
a
b
d
c
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Explanation:

Step1: Entender la rotación de 180°

Una rotación de \( 180^\circ \) alrededor de un punto significa que cada vértice del cuadrado \( ABCD \) se moverá de modo que el punto de rotación sea el midpoint del segmento que une el vértice original y su imagen. Para un cuadrado, la rotación de \( 180^\circ \) invertirá la posición de los vértices. Si el punto de rotación está en el segmento \( BC \) (o su extensión), entonces:
- El vértice \( B \) rotado 180° alrededor del punto se convertirá en el vértice que estaba en la posición opuesta, y lo mismo para \( C \), \( A \) y \( D \).
- Sea el punto de rotación \( O \). Entonces, \( \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{O B'} \) y \( \overrightarrow{CO} = \overrightarrow{O C'} \), donde \( B' \) y \( C' \) son las imágenes de \( B \) y \( C \).
- Para el cuadrado \( ABCD \) (con \( AB \) horizontal, \( AD \) vertical), después de rotar 180°, el vértice \( A \) se moverá a la posición donde \( C \) estaba en la dirección opuesta, \( B \) a donde \( D \) estaba, etc. Pero más fácil: al rotar 180°, el orden de los vértices se invierte. Entonces, la imagen del cuadrado \( A'B'C'D' \) tendrá:
- \( A' \) correspondiente a \( C \) rotado 180°
- \( B' \) correspondiente a \( D \) rotado 180°
- \( C' \) correspondiente a \( A \) rotado 180°
- \( D' \) correspondiente a \( B \) rotado 180°

Step2: Etiquetar los vértices

1. Toma el cuadrado original \( ABCD \) con \( A \) arriba-izquierda, \( B \) arriba-derecha, \( C \) abajo-derecha, \( D \) abajo-izquierda.
2. Al rotar 180° alrededor del punto (que está en la línea entre \( B \) y el vértice derecho del segundo cuadrado), el vértice \( A \) (arriba-izquierda) rotado 180° se moverá a la posición abajo-derecha del segundo cuadrado (que sería \( C' \)), \( B \) (arriba-derecha) se moverá a abajo-izquierda (\( D' \)), \( C \) (abajo-derecha) se moverá a arriba-izquierda (\( A' \)), \( D \) (abajo-izquierda) se moverá a arriba-derecha (\( B' \)).

Así, la imagen del cuadrado \( A'B'C'D' \) tendrá los vértices etiquetados como: \( A' \) (posición de \( C \) rotada), \( B' \) (posición de \( D \) rotada), \( C' \) (posición de \( A \) rotada), \( D' \) (posición de \( B \) rotada). Pero más sencillamente, al rotar 180°, el vector desde el punto de rotación a cada vértice se invierte. Entonces, si el punto de rotación es \( O \), entonces \( O \) es el midpoint de \( B \) y su imagen, y también de \( C \) y su imagen, etc.

Para dibujar:
- Copia el diagrama con el primer cuadrado \( ABCD \) (A arriba-izquierda, B arriba-derecha, C abajo-derecha, D abajo-izquierda) y el segundo cuadrado vacío, y el punto de rotación en la línea punteada entre \( B \) y el segundo cuadrado.
- Usa papel de trazo: coloca el papel sobre el diagrama, traza \( ABCD \), el punto de rotación, y el segundo cuadrado. Luego, gira el papel de trazo 180° alrededor del punto de rotación. La posición de los vértices trazados en el papel de trazo ahora es la imagen.
- Etiqueta los vértices de la imagen: el vértice que estaba en \( A \) (arriba-izquierda) ahora estará en la posición opuesta (abajo-derecha del segundo cuadrado), así que ese es \( C' \)? No, espera: al rotar 180°, la transformación es \( (x,y) \to (-x + 2h, -y + 2k) \) si el punto de rotación es \( (h,k) \). Pero en el diagrama, el primer cuadrado \( ABCD \) y el segundo están separados por una línea punteada con el punto de rotación en el medio. Entonces, el segundo cuadrado es la imagen de \( ABCD \) rotada 180° alrededor de ese punto. Entonces, los vértices de la imagen (segundo cuadrado) serán:
- El vértice correspondiente a \( A \) (arriba-izquierda de \( ABCD \)) será abajo-derecha del segundo cuadrado (llamémoslo \( A' \)? No, mejor: si \( ABCD \) es un cuadrado con \( AB \) horizontal, entonces al rotar 180°, \( A \) se convierte en \( C' \), \( B \) en \( D' \), \( C \) en \( A' \), \( D \) en \( B' \), pero la forma del cuadrado se mantiene, así que la etiqueta del segundo cuadrado será:
- Arriba-izquierda: \( C \) rotado? No, mejor ejemplo: si el punto de rotación está en el segmento que une \( B \) y el vértice derecho del segundo cuadrado, entonces al rotar 180°, \( B \) se mueve al vértice izquierdo del segundo cuadrado, y \( C \) se mueve al vértice arriba del segundo cuadrado? No, quizás es más fácil pensar que la rotación de 180° invierte la dirección. Entonces, el cuadrado \( ABCD \) (con \( A \) en la esquina superior izquierda, \( B \) superior derecha, \( C \) inferior derecha, \( D \) inferior izquierda) al rotar 180° alrededor del punto (que está en la línea entre \( B \) y el segundo cuadrado) tendrá su imagen con:
- \( A' \) (imagen de \( A \)) en la esquina inferior derecha del segundo cuadrado
- \( B' \) (imagen de \( B \)) en la esquina inferior izquierda del segundo cuadrado
- \( C' \) (imagen de \( C \)) en la esquina superior izquierda del segundo cuadrado
- \( D' \) (imagen de \( D \)) en la esquina superior derecha del segundo cuadrado

Pero la forma más sencilla es usar el papel de trazo: trazar el diagrama, colocar el papel de trazo sobre él, marcar el punto de rotación, y girar el papel 180° (dar la vuelta). Luego, la posición de los vértices \( A, B, C, D \) en el papel de trazo ahora es la imagen, así que etiquetar esos puntos en el segundo cuadrado como \( A', B', C', D' \) (la imagen).

Answer:

Para resolver la rotación de \( 180^\circ \) de \( ABCD \) alrededor del punto dado:

1. Usar papel de trazo: Coloca el papel de trazo sobre el diagrama, traza \( ABCD \), el punto de rotación y el segundo cuadrado.
2. Rotar 180°: Gira el papel de trazo 180° alrededor del punto de rotación. La posición de los vértices \( A, B, C, D \) en el papel de trazo ahora es la imagen.
3. Etiquetar: Transfiere las etiquetas a la imagen: el vértice que coincida con la posición rotada de \( A \) es \( A' \), de \( B \) es \( B' \), de \( C \) es \( C' \), y de \( D \) es \( D' \).

(Nota: La imagen del cuadrado tendrá los vértices en el orden inverso al original, debido a la rotación de \( 180^\circ \). Por ejemplo, si \( ABCD \) es \( A \) (arriba-izquierda), \( B \) (arriba-derecha), \( C \) (abajo-derecha), \( D \) (abajo-izquierda), la imagen \( A'B'C'D' \) tendrá \( A' \) (abajo-derecha), \( B' \) (abajo-izquierda), \( C' \) (arriba-izquierda), \( D' \) (arriba-derecha) — o según la posición del punto de rotación, ajusta las etiquetas tras rotar.)

Para presentar, adjunta la imagen de tu trabajo (usando el botón "Upload files" con el diagrama etiquetado).