Question

13 part a: identify the equivalent recursive form to represent the sequence based on the given explicit form. (a) a (a_1 = 2); (a_n=a_{n - 1}-4) b (a_1 = 4); (a_n=a_{n - 1}-2) c (a_1 = 4); (a_n=a_{n - 1}+2) d (a_1 = 2); (a_n=a_{n - 1}+4) (b) part b: identify the equivalent table to represent the sequence based on the given explicit form. a (\begin{array}{|c|c|}hline n&a_n\hline1&4\hline2&6\hline3&8\hline4&10\hlineend{array})

Explanation:

Step1: Encontrar el primer término

Para $n = 1$ en la fórmula explícita $a_{n}=2 + 4(n - 1)$, sustituimos:
$a_{1}=2+4(1 - 1)=2+4\times0 = 2$

Step2: Encontrar la relación recursiva

La fórmula explícita $a_{n}=2 + 4(n - 1)$ es de una progresión aritmética de la forma $a_{n}=a_{1}+d(n - 1)$, donde $a_{1}$ es el primer término y $d$ es la diferencia común. Aquí $a_{1}=2$ y $d = 4$.
La fórmula recursiva para una progresión aritmética es $a_{n}=a_{n - 1}+d$. Entonces $a_{n}=a_{n - 1}+4$ con $a_{1}=2$.

Step3: Comprobar valores en la tabla

Usando la fórmula explícita $a_{n}=2 + 4(n - 1)$:
Para $n = 2$, $a_{2}=2+4(2 - 1)=2 + 4=6$
Para $n = 3$, $a_{3}=2+4(3 - 1)=2+8 = 10$
Para $n = 4$, $a_{4}=2+4(4 - 1)=2 + 12=14$

Answer:

(a) D. $a_{1}=2;a_{n}=a_{n - 1}+4$
(b) La tabla correcta no está mostrada en las opciones dadas, ya que para la fórmula $a_{n}=2 + 4(n - 1)$ los valores correctos son:

n	$a_{n}$
2	6
3	10
4	14