Question

1. if m∠acd = 81°, solve for x. 9. if m∠vst=(5x + 23)° and m∠vut=(8x - 49)°, find m∠svt. directions: prove whether the quadrilateral is a parallelogram using the specified method. 10. q(-10, -2), r(1, -1), s(1, -7), t(-11, -8) (distance formula) 11. k(2, 7), l(6, 12), m(13, 13), n(9, 8) (slope formula) 12. d(-5, -6), e(5, 2), f(4, -4), g(-6, -12) (distance & slope formulas)

Explanation:

Paso 1: Escribir la fórmula de la distancia entre dos puntos

La fórmula de la distancia $d$ entre dos puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ es $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$.
Para el problema 10, con $Q(- 10,-2)$, $R(1,-1)$, $S(1,-7)$ y $T(-11,-8)$:
Calculamos la distancia $QR$:
$x_1=-10,y_1 = - 2,x_2 = 1,y_2=-1$
$QR=\sqrt{(1+10)^2+(-1 + 2)^2}=\sqrt{121 + 1}=\sqrt{122}$
Calculamos la distancia $RS$:
$x_1=1,y_1=-1,x_2 = 1,y_2=-7$
$RS=\sqrt{(1 - 1)^2+(-7 + 1)^2}=\sqrt{0+36}=6$
Calculamos la distancia $ST$:
$x_1=1,y_1=-7,x_2=-11,y_2=-8$
$ST=\sqrt{(-11 - 1)^2+(-8 + 7)^2}=\sqrt{144+1}=\sqrt{145}$
Calculamos la distancia $TQ$:
$x_1=-11,y_1=-8,x_2=-10,y_2=-2$
$TQ=\sqrt{(-10 + 11)^2+(-2 + 8)^2}=\sqrt{1 + 36}=\sqrt{37}$
Como $QR
eq ST$ y $RS
eq TQ$, el cuadrilátero $QRST$ no es un paralelogramo.

Paso 2: Escribir la fórmula de la pendiente entre dos puntos

La fórmula de la pendiente $m$ entre dos puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ es $m=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
Para el problema 11, con $K(2,7)$, $L(6,12)$, $M(13,13)$ y $N(9,8)$:
Pendiente de $KL$: $m_{KL}=\frac{12 - 7}{6 - 2}=\frac{5}{4}$
Pendiente de $LM$: $m_{LM}=\frac{13 - 12}{13 - 6}=\frac{1}{7}$
Pendiente de $MN$: $m_{MN}=\frac{8 - 13}{9 - 13}=\frac{-5}{-4}=\frac{5}{4}$
Pendiente de $NK$: $m_{NK}=\frac{7 - 8}{2 - 9}=\frac{-1}{-7}=\frac{1}{7}$
Como $m_{KL}=m_{MN}$ y $m_{LM}=m_{NK}$, el cuadrilátero $KLMN$ es un paralelogramo.

Para el problema 12, primero calculamos las distancias y pendientes:
Distancia $DE$:
$x_1=-5,y_1=-6,x_2 = 5,y_2=2$
$DE=\sqrt{(5 + 5)^2+(2 + 6)^2}=\sqrt{100 + 64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}$
Distancia $EF$:
$x_1=5,y_1=2,x_2 = 4,y_2=-4$
$EF=\sqrt{(4 - 5)^2+(-4 - 2)^2}=\sqrt{1 + 36}=\sqrt{37}$
Distancia $FG$:
$x_1=4,y_1=-4,x_2=-6,y_2=-12$
$FG=\sqrt{(-6 - 4)^2+(-12 + 4)^2}=\sqrt{100 + 64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}$
Distancia $GD$:
$x_1=-6,y_1=-12,x_2=-5,y_2=-6$
$GD=\sqrt{(-5 + 6)^2+(-6 + 12)^2}=\sqrt{1+36}=\sqrt{37}$
Pendiente de $DE$: $m_{DE}=\frac{2 + 6}{5 + 5}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$
Pendiente de $EF$: $m_{EF}=\frac{-4 - 2}{4 - 5}=\frac{-6}{-1}=6$
Pendiente de $FG$: $m_{FG}=\frac{-12 + 4}{-6 - 4}=\frac{-8}{-10}=\frac{4}{5}$
Pendiente de $GD$: $m_{GD}=\frac{-6 + 12}{-5+6}=6$
Como $DE = FG$, $EF=GD$, $m_{DE}=m_{FG}$ y $m_{EF}=m_{GD}$, el cuadrilátero $DEFG$ es un paralelogramo.

Respuesta:

1. El cuadrilátero $QRST$ no es un paralelogramo.
2. El cuadrilátero $KLMN$ es un paralelogramo.
3. El cuadrilátero $DEFG$ es un paralelogramo.

Answer:

Paso 1: Escribir la fórmula de la distancia entre dos puntos

La fórmula de la distancia $d$ entre dos puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ es $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$.
Para el problema 10, con $Q(- 10,-2)$, $R(1,-1)$, $S(1,-7)$ y $T(-11,-8)$:
Calculamos la distancia $QR$:
$x_1=-10,y_1 = - 2,x_2 = 1,y_2=-1$
$QR=\sqrt{(1+10)^2+(-1 + 2)^2}=\sqrt{121 + 1}=\sqrt{122}$
Calculamos la distancia $RS$:
$x_1=1,y_1=-1,x_2 = 1,y_2=-7$
$RS=\sqrt{(1 - 1)^2+(-7 + 1)^2}=\sqrt{0+36}=6$
Calculamos la distancia $ST$:
$x_1=1,y_1=-7,x_2=-11,y_2=-8$
$ST=\sqrt{(-11 - 1)^2+(-8 + 7)^2}=\sqrt{144+1}=\sqrt{145}$
Calculamos la distancia $TQ$:
$x_1=-11,y_1=-8,x_2=-10,y_2=-2$
$TQ=\sqrt{(-10 + 11)^2+(-2 + 8)^2}=\sqrt{1 + 36}=\sqrt{37}$
Como $QR
eq ST$ y $RS
eq TQ$, el cuadrilátero $QRST$ no es un paralelogramo.

Paso 2: Escribir la fórmula de la pendiente entre dos puntos

La fórmula de la pendiente $m$ entre dos puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ es $m=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
Para el problema 11, con $K(2,7)$, $L(6,12)$, $M(13,13)$ y $N(9,8)$:
Pendiente de $KL$: $m_{KL}=\frac{12 - 7}{6 - 2}=\frac{5}{4}$
Pendiente de $LM$: $m_{LM}=\frac{13 - 12}{13 - 6}=\frac{1}{7}$
Pendiente de $MN$: $m_{MN}=\frac{8 - 13}{9 - 13}=\frac{-5}{-4}=\frac{5}{4}$
Pendiente de $NK$: $m_{NK}=\frac{7 - 8}{2 - 9}=\frac{-1}{-7}=\frac{1}{7}$
Como $m_{KL}=m_{MN}$ y $m_{LM}=m_{NK}$, el cuadrilátero $KLMN$ es un paralelogramo.

Para el problema 12, primero calculamos las distancias y pendientes:
Distancia $DE$:
$x_1=-5,y_1=-6,x_2 = 5,y_2=2$
$DE=\sqrt{(5 + 5)^2+(2 + 6)^2}=\sqrt{100 + 64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}$
Distancia $EF$:
$x_1=5,y_1=2,x_2 = 4,y_2=-4$
$EF=\sqrt{(4 - 5)^2+(-4 - 2)^2}=\sqrt{1 + 36}=\sqrt{37}$
Distancia $FG$:
$x_1=4,y_1=-4,x_2=-6,y_2=-12$
$FG=\sqrt{(-6 - 4)^2+(-12 + 4)^2}=\sqrt{100 + 64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}$
Distancia $GD$:
$x_1=-6,y_1=-12,x_2=-5,y_2=-6$
$GD=\sqrt{(-5 + 6)^2+(-6 + 12)^2}=\sqrt{1+36}=\sqrt{37}$
Pendiente de $DE$: $m_{DE}=\frac{2 + 6}{5 + 5}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$
Pendiente de $EF$: $m_{EF}=\frac{-4 - 2}{4 - 5}=\frac{-6}{-1}=6$
Pendiente de $FG$: $m_{FG}=\frac{-12 + 4}{-6 - 4}=\frac{-8}{-10}=\frac{4}{5}$
Pendiente de $GD$: $m_{GD}=\frac{-6 + 12}{-5+6}=6$
Como $DE = FG$, $EF=GD$, $m_{DE}=m_{FG}$ y $m_{EF}=m_{GD}$, el cuadrilátero $DEFG$ es un paralelogramo.

Respuesta:

1. El cuadrilátero $QRST$ no es un paralelogramo.
2. El cuadrilátero $KLMN$ es un paralelogramo.
3. El cuadrilátero $DEFG$ es un paralelogramo.