Question

1 calculate the distance from the point a(-3,2) to the line y = 2x + 1.
my calculations
distance = \frac{|ax_1+by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
distance = \frac{|3\cdot( - 1)-2(2)+1|}{\sqrt{3^2+( - 2)^2}}=\frac{4}{\sqrt{13}}
2 calculate the distance from the point a(-4,-1) to the line y = x.
my calculations
d = \frac{|1\times(-4)-1\times(-1)+0|}{\sqrt{1^2+( - 1)^2}}=\frac{|-4 + 1|}{\sqrt{1+1}}=\frac{3}{\sqrt{2}}
3 calculate the distance from point a(0,-3) to the line 4x - 3y - 5 = 0.
my calculations
d = \frac{|4\times0-3\times(-3)-5|}{\sqrt{4^2+( - 3)^2}}=\frac{|0 + 9-5|}{\sqrt{16 + 9}}=\frac{4}{5}
4 calculate the distance from point a(-5,2) to the line x + 2y - 4 = 0.
5 calculate the distance between the parallel lines y = 2x - 5 and y = 2x + 1.
6 calculate the distance between the parallel lines 2x + 3y - 12 = 0 and 4x + 6y + 12 = 0.

Explanation:

Step1: 점과 직선 사이의 거리 공식 정의

점 $(x_0, y_0)$과 직선 $ax + by+ c = 0$ 사이의 거리는 $d=\frac{\vert ax_0+by_0 + c\vert}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$입니다.

Step2: 1번 문제 풀이

직선 $y = 2x+1$을 $2x - y+1 = 0$ 형태로 바꾸고, 점 $A(-3,2)$에 대해 $a = 2$, $b=-1$, $c = 1$, $x_0=-3$, $y_0 = 2$로 대입합니다.
$d=\frac{\vert2\times(-3)-1\times2 + 1\vert}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{\vert-6 - 2+1\vert}{\sqrt{4 + 1}}=\frac{\vert-7\vert}{\sqrt{5}}=\frac{7}{\sqrt{5}}=\frac{7\sqrt{5}}{5}$

Step3: 2번 문제 풀이

직선 $y = x$를 $x - y = 0$ 형태로 바꾸고, 점 $A(-4,-1)$에 대해 $a = 1$, $b=-1$, $c = 0$, $x_0=-4$, $y_0=-1$로 대입합니다.
$d=\frac{\vert1\times(-4)-1\times(-1)+0\vert}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{\vert-4 + 1\vert}{\sqrt{1+1}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Step4: 3번 문제 풀이

직선 $4x-3y - 5 = 0$에 대해 $a = 4$, $b=-3$, $c=-5$, 점 $A(0,-3)$에서 $x_0 = 0$, $y_0=-3$로 대입합니다.
$d=\frac{\vert4\times0-3\times(-3)-5\vert}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}=\frac{\vert0 + 9-5\vert}{\sqrt{16 + 9}}=\frac{4}{5}$

Step5: 4번 문제 풀이

직선 $x + 2y-4 = 0$에 대해 $a = 1$, $b = 2$, $c=-4$, 점 $A(-5,2)$에서 $x_0=-5$, $y_0 = 2$로 대입합니다.
$d=\frac{\vert1\times(-5)+2\times2-4\vert}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\frac{\vert-5 + 4-4\vert}{\sqrt{1 + 4}}=\frac{\vert-5\vert}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$

Step6: 5번 문제 풀이

두 평행 직선 $y = 2x-5$와 $y = 2x + 1$를 $2x-y-5 = 0$과 $2x-y+1 = 0$ 형태로 바꾸고, 한 직선 위의 한 점 (예를 들어, $y = 2x-5$에서 $x = 0$일 때 $y=-5$, 점 $(0,-5)$)과 다른 직선 $2x-y+1 = 0$ 사이의 거리를 구합니다.
$a = 2$, $b=-1$, $c = 1$, $x_0 = 0$, $y_0=-5$로 대입합니다.
$d=\frac{\vert2\times0-1\times(-5)+1\vert}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{\vert0 + 5+1\vert}{\sqrt{4 + 1}}=\frac{6}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$

Step7: 6번 문제 풀이

직선 $4x + 6y+12 = 0$을 $2x + 3y+6 = 0$으로 단순화합니다. 두 평행 직선 $2x + 3y-12 = 0$과 $2x + 3y+6 = 0$ 사이의 거리를 구하기 위해, 한 직선 위의 한 점 (예를 들어, $2x + 3y-12 = 0$에서 $x = 0$일 때 $y = 4$, 점 $(0,4)$)과 다른 직선 $2x + 3y+6 = 0$ 사이의 거리를 구합니다.
$a = 2$, $b = 3$, $c = 6$, $x_0 = 0$, $y_0 = 4$로 대입합니다.
$d=\frac{\vert2\times0+3\times4+6\vert}{\sqrt{2^{2}+3^{2}}}=\frac{\vert0+12 + 6\vert}{\sqrt{4 + 9}}=\frac{18}{\sqrt{13}}=\frac{18\sqrt{13}}{13}$

Answer:

1. $\frac{7\sqrt{5}}{5}$
2. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
3. $\frac{4}{5}$
4. $\sqrt{5}$
5. $\frac{6\sqrt{5}}{5}$
6. $\frac{18\sqrt{13}}{13}$