Question

graph the following system of inequalities on the coordinate plane and shade the resulting solution region: \\(\

$$\begin{cases} y > 2x - 3 \\\\ y \\leq -x + 4 \\end{cases}$$

\\)

Explanation:

Step1: 绘制\(y > 2x - 3\)的边界线

首先，将不等式\(y > 2x - 3\)视为等式\(y = 2x - 3\)，这是一条直线。由于不等式是“\(>\)”，所以边界线应该画成虚线（因为不包含边界上的点）。该直线的斜率\(m = 2\)，截距\(b = -3\)，所以过点\((0, -3)\)，再根据斜率找另一个点，比如\(x = 1\)时，\(y = 2\times1 - 3 = -1\)，所以过点\((1, -1)\)。然后，因为\(y > 2x - 3\)，所以阴影区域在这条虚线的上方（可以通过测试点，比如\((0, 0)\)，代入得\(0 > 2\times0 - 3\)，即\(0 > -3\)，成立，所以\((0, 0)\)所在的上方区域是解的一部分）。

Step2: 绘制\(y \leq -x + 4\)的边界线

将不等式\(y \leq -x + 4\)视为等式\(y = -x + 4\)，这是一条直线。由于不等式是“\(\leq\)”，所以边界线画成实线（包含边界上的点）。该直线的斜率\(m = -1\)，截距\(b = 4\)，过点\((0, 4)\)，当\(x = 1\)时，\(y = -1 + 4 = 3\)，过点\((1, 3)\)。因为\(y \leq -x + 4\)，所以阴影区域在这条实线的下方（测试点\((0, 0)\)，代入得\(0 \leq -0 + 4\)，即\(0 \leq 4\)，成立，所以\((0, 0)\)所在的下方区域是解的一部分）。

Step3: 确定解集区域

解集区域是同时满足两个不等式的区域，即\(y > 2x - 3\)的上方区域和\(y \leq -x + 4\)的下方区域的交集。找到两条直线的交点，解方程组\(

$$\begin{cases}y = 2x - 3\\y = -x + 4\end{cases}$$

\)，将\(y = 2x - 3\)代入\(y = -x + 4\)得：\(2x - 3 = -x + 4\)，移项得\(2x + x = 4 + 3\)，即\(3x = 7\)，解得\(x = \frac{7}{3}\)，然后\(y = 2\times\frac{7}{3} - 3 = \frac{14}{3} - \frac{9}{3} = \frac{5}{3}\)，所以交点为\((\frac{7}{3}, \frac{5}{3})\)。解集区域是在虚线\(y = 2x - 3\)上方、实线\(y = -x + 4\)下方，且包含两条线之间的区域（包括实线\(y = -x + 4\)上的点，不包括虚线\(y = 2x - 3\)上的点）。

图形描述（文字版）：

1. 画虚线\(y = 2x - 3\)（过\((0, -3)\)和\((1, -1)\)），并在其上方（不包含线）阴影。
2. 画实线\(y = -x + 4\)（过\((0, 4)\)和\((1, 3)\)），并在其下方（包含线）阴影。
3. 两个阴影区域的重叠部分（即同时满足两个不等式的区域）就是解集，其边界交点为\((\frac{7}{3}, \frac{5}{3})\)，在该点附近，区域在虚线\(y = 2x - 3\)上方、实线\(y = -x + 4\)下方。

（注：实际画图时，先画出两条线，再分别确定阴影方向，最后找重叠区域即可。）

Answer:

Step1: 绘制\(y > 2x - 3\)的边界线

首先，将不等式\(y > 2x - 3\)视为等式\(y = 2x - 3\)，这是一条直线。由于不等式是“\(>\)”，所以边界线应该画成虚线（因为不包含边界上的点）。该直线的斜率\(m = 2\)，截距\(b = -3\)，所以过点\((0, -3)\)，再根据斜率找另一个点，比如\(x = 1\)时，\(y = 2\times1 - 3 = -1\)，所以过点\((1, -1)\)。然后，因为\(y > 2x - 3\)，所以阴影区域在这条虚线的上方（可以通过测试点，比如\((0, 0)\)，代入得\(0 > 2\times0 - 3\)，即\(0 > -3\)，成立，所以\((0, 0)\)所在的上方区域是解的一部分）。

Step2: 绘制\(y \leq -x + 4\)的边界线

将不等式\(y \leq -x + 4\)视为等式\(y = -x + 4\)，这是一条直线。由于不等式是“\(\leq\)”，所以边界线画成实线（包含边界上的点）。该直线的斜率\(m = -1\)，截距\(b = 4\)，过点\((0, 4)\)，当\(x = 1\)时，\(y = -1 + 4 = 3\)，过点\((1, 3)\)。因为\(y \leq -x + 4\)，所以阴影区域在这条实线的下方（测试点\((0, 0)\)，代入得\(0 \leq -0 + 4\)，即\(0 \leq 4\)，成立，所以\((0, 0)\)所在的下方区域是解的一部分）。

Step3: 确定解集区域

解集区域是同时满足两个不等式的区域，即\(y > 2x - 3\)的上方区域和\(y \leq -x + 4\)的下方区域的交集。找到两条直线的交点，解方程组\(

$$\begin{cases}y = 2x - 3\\y = -x + 4\end{cases}$$

\)，将\(y = 2x - 3\)代入\(y = -x + 4\)得：\(2x - 3 = -x + 4\)，移项得\(2x + x = 4 + 3\)，即\(3x = 7\)，解得\(x = \frac{7}{3}\)，然后\(y = 2\times\frac{7}{3} - 3 = \frac{14}{3} - \frac{9}{3} = \frac{5}{3}\)，所以交点为\((\frac{7}{3}, \frac{5}{3})\)。解集区域是在虚线\(y = 2x - 3\)上方、实线\(y = -x + 4\)下方，且包含两条线之间的区域（包括实线\(y = -x + 4\)上的点，不包括虚线\(y = 2x - 3\)上的点）。

图形描述（文字版）：

1. 画虚线\(y = 2x - 3\)（过\((0, -3)\)和\((1, -1)\)），并在其上方（不包含线）阴影。
2. 画实线\(y = -x + 4\)（过\((0, 4)\)和\((1, 3)\)），并在其下方（包含线）阴影。
3. 两个阴影区域的重叠部分（即同时满足两个不等式的区域）就是解集，其边界交点为\((\frac{7}{3}, \frac{5}{3})\)，在该点附近，区域在虚线\(y = 2x - 3\)上方、实线\(y = -x + 4\)下方。

（注：实际画图时，先画出两条线，再分别确定阴影方向，最后找重叠区域即可。）