Question

1. la table de valeurs suivante est celle dune fonction polynomiale du second degré. complete la table en remplissant les cases vides.

1. les 4 tables de valeurs suivantes représentent des fonctions linéaires (affines) ou des fonctions quadratiques. après avoir déterminé le type de fonction, trouvez la règle qui lui est associée.

a)

b)

c)

d)

Explanation:

Step1: Trouver la fonction polynomiale du second - degré pour le problème 3

Soit la fonction polynomiale du second - degré $f(x)=ax^{2}+bx + c$. En utilisant le point $(0,- 10)$, on obtient $f(0)=a(0)^{2}+b(0)+c=-10$, donc $c = - 10$. En utilisant le point $(5,7.5)$, on a $f(5)=a(5)^{2}+b(5)-10=7.5$, soit $25a + 5b=17.5$. En utilisant le point $(10,30)$, on a $f(10)=a(10)^{2}+b(10)-10=30$, soit $100a+10b = 40$. On résout le système d'équations

$$\begin{cases}25a + 5b=17.5\\100a+10b = 40\end{cases}$$

. On multiplie la première équation par $2$: $50a+10b = 35$. On soustrait cette dernière à la seconde équation: $(100a + 10b)-(50a+10b)=40 - 35$, $50a=5$, $a = 0.1$. En remplaçant $a = 0.1$ dans $25a+5b=17.5$, on a $25\times0.1+5b=17.5$, $2.5+5b=17.5$, $5b=15$, $b = 3$. Donc $f(x)=0.1x^{2}+3x - 10$.

Step2: Trouver les fonctions pour le problème 4

• a) Soit $f(x)=ax^{2}+bx + c$. Avec $(0,0)$, $c = 0$. Avec $(10,30)$ et $(15,45)$:
• En utilisant $(10,30)$ dans $y = ax^{2}+bx$, on a $30=a(10)^{2}+b(10)=100a + 10b$.
• En utilisant $(15,45)$ dans $y = ax^{2}+bx$, on a $45=a(15)^{2}+b(15)=225a+15b$. On multiplie la première équation par $1.5$: $45 = 150a+15b$. En soustrayant $45=225a + 15b$ et $45=150a+15b$, on obtient $0 = 75a$, $a = 0$. Alors $b = 3$ et $f(x)=3x$ (fonction linéaire).
• b) Soit $f(x)=ax^{2}+bx + c$. Avec $( - 8,192)$, $(7,147)$ et $(12,432)$:
• $f(-8)=64a-8b + c=192$.
• $f(7)=49a + 7b + c=147$.
• $f(12)=144a+12b + c=432$. En soustrayant $f(7)$ de $f(12)$: $(144a+12b + c)-(49a + 7b + c)=432 - 147$, $95a+5b=285$, $19a + b=57$, $b=57 - 19a$. En soustrayant $f(7)$ de $f(-8)$: $(64a-8b + c)-(49a + 7b + c)=192 - 147$, $15a-15b = 45$, $a - b=3$. En remplaçant $b = 57 - 19a$ dans $a - b=3$, on a $a-(57 - 19a)=3$, $20a=60$, $a = 3$, $b=- 24$, $c = 0$. Donc $f(x)=3x^{2}-24x$.
• c) Soit $f(x)=ax^{2}+bx + c$. Avec $(0,0)$, $c = 0$. Avec $(20,0.4)$ et $(30,0.9)$:
• $f(20)=400a+20b=0.4$.
• $f(30)=900a+30b=0.9$. On multiplie la première équation par $1.5$: $600a+30b = 0.6$. En soustrayant $900a+30b=0.9$ et $600a+30b = 0.6$, on obtient $300a=0.3$, $a=0.001$, $b = 0$. Donc $f(x)=0.001x^{2}$.
• d) Soit $f(x)=ax^{2}+bx + c$. Avec $(0,4)$, $c = 4$. Avec $(3,25)$ et $(8,60)$:
• $f(3)=9a+3b + 4=25$, $9a+3b=21$, $3a + b=7$, $b=7 - 3a$.
• $f(8)=64a+8b + 4=60$, $64a+8b=56$, $8a + b=7$. En remplaçant $b = 7 - 3a$ dans $8a + b=7$, on a $8a+(7 - 3a)=7$, $5a=0$, $a = 0$, $b = 7$. Donc $f(x)=7x + 4$.

Answer:

• 3: La fonction est $f(x)=0.1x^{2}+3x - 10$.
• 4a: La fonction est $f(x)=3x$ (fonction linéaire).
• 4b: La fonction est $f(x)=3x^{2}-24x$ (fonction quadratique).
• 4c: La fonction est $f(x)=0.001x^{2}$ (fonction quadratique).
• 4d: La fonction est $f(x)=7x + 4$ (fonction linéaire).