Question

limₓ→₀ (2√(x+1) - √(4 - x)) / x

Explanation:

Step1: Vérifier la forme indéterminée

En substituant \( x = 0 \) dans la fonction, on a :
\[
\frac{2\sqrt{0 + 1} - \sqrt{4 - 0}}{0} = \frac{2 - 2}{0} = \frac{0}{0}
\]
Donc, on peut utiliser la règle de L'Hospital ou rationaliser la fonction. Ici, on rationalisera la fonction numérateur.

Step2: Rationaliser le numérateur

Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du numérateur \( 2\sqrt{x + 1} + \sqrt{4 - x} \) :
\[

$$\begin{align*} &\lim_{x \to 0} \frac{(2\sqrt{x + 1} - \sqrt{4 - x})(2\sqrt{x + 1} + \sqrt{4 - x})}{x(2\sqrt{x + 1} + \sqrt{4 - x})}\\ &=\lim_{x \to 0} \frac{(2\sqrt{x + 1})^2 - (\sqrt{4 - x})^2}{x(2\sqrt{x + 1} + \sqrt{4 - x})}\\ &=\lim_{x \to 0} \frac{4(x + 1) - (4 - x)}{x(2\sqrt{x + 1} + \sqrt{4 - x})}\\ &=\lim_{x \to 0} \frac{4x + 4 - 4 + x}{x(2\sqrt{x + 1} + \sqrt{4 - x})}\\ &=\lim_{x \to 0} \frac{5x}{x(2\sqrt{x + 1} + \sqrt{4 - x})} \end{align*}$$

\]

Step3: Simplifier et évaluer la limite

On peut simplifier \( x \) (pour \( x
eq 0 \)) :
\[
\lim_{x \to 0} \frac{5}{2\sqrt{x + 1} + \sqrt{4 - x}}
\]
Maintenant, substituer \( x = 0 \) :
\[
\frac{5}{2\sqrt{0 + 1} + \sqrt{4 - 0}} = \frac{5}{2 + 2} = \frac{5}{4}
\]

Answer:

\(\frac{5}{4}\)