Question

part b: quadratic

1. find the vertex of h(t) = -16t²+32t + 4.
2. explain what the vertex and intercepts mean in the context of a ball being thrown.
3. create a different real - world situation that could be modeled by this function, and explain one key feature in context.

Explanation:

4.

Paso 1: Identificar los coeficientes

Para una función cuadrática en la forma $h(t)=at^{2}+bt + c$, en $h(t)=-16t^{2}+32t + 4$, tenemos $a=-16$, $b = 32$ y $c = 4$.

Paso 2: Encontrar la coordenada $t$ del vértice

La fórmula para la coordenada $t$ del vértice de una función cuadrática es $t=-\frac{b}{2a}$. Sustituyendo $a=-16$ y $b = 32$:
\[t=-\frac{32}{2\times(-16)}=-\frac{32}{-32}=1\]

Paso 3: Encontrar la coordenada $h(t)$ del vértice

Sustituir $t = 1$ en la función $h(t)=-16t^{2}+32t + 4$:
\[h(1)=-16\times(1)^{2}+32\times1 + 4=-16 + 32+4=20\]

Respuesta:

El vértice es $(1,20)$

5.

Breve Explicación:

• Vértice: En el contexto de un balón siendo lanzado, la coordenada $t$ del vértice representa el tiempo en el que el balón alcanza su altura máxima. La coordenada $h(t)$ del vértice es la altura máxima alcanzada por el balón.
• Intersección con el eje - $t$ (raíces): Representan los tiempos en los que el balón toca el suelo ($h(t)=0$).
• Intersección con el eje - $h$: Representa la altura inicial del balón cuando $t = 0$.

Respuesta:

El vértice es el tiempo y la altura máxima del balón al ser lanzado. Las intersecciones con el eje - $t$ son los tiempos en los que el balón toca el suelo y la intersección con el eje - $h$ es la altura inicial.

6.

Breve Explicación:

Supongamos que una empresa fabrica y vende artículos. El costo de producción $C(x)$ en dólares para producir $x$ artículos está dado por la función $C(x)=-16x^{2}+32x + 4$. Aquí, $x$ es el número de artículos producidos. Una característica clave es el vértice. La coordenada $x$ del vértice representa el número de artículos que la empresa debe producir para minimizar el costo de producción (ya que $a=-16<0$, la parábola se abre hacia abajo). La coordenada $C(x)$ del vértice es el costo mínimo de producción.

Respuesta:

Una empresa que produce artículos con costo $C(x)=-16x^{2}+32x + 4$. El vértice representa el número de artículos para minimizar el costo y el costo mínimo.

Answer:

Paso 1: Identificar los coeficientes

Para una función cuadrática en la forma $h(t)=at^{2}+bt + c$, en $h(t)=-16t^{2}+32t + 4$, tenemos $a=-16$, $b = 32$ y $c = 4$.

Paso 2: Encontrar la coordenada $t$ del vértice

La fórmula para la coordenada $t$ del vértice de una función cuadrática es $t=-\frac{b}{2a}$. Sustituyendo $a=-16$ y $b = 32$:
\[t=-\frac{32}{2\times(-16)}=-\frac{32}{-32}=1\]

Paso 3: Encontrar la coordenada $h(t)$ del vértice

Sustituir $t = 1$ en la función $h(t)=-16t^{2}+32t + 4$:
\[h(1)=-16\times(1)^{2}+32\times1 + 4=-16 + 32+4=20\]

Respuesta:

El vértice es $(1,20)$

5.

Breve Explicación:

• Vértice: En el contexto de un balón siendo lanzado, la coordenada $t$ del vértice representa el tiempo en el que el balón alcanza su altura máxima. La coordenada $h(t)$ del vértice es la altura máxima alcanzada por el balón.
• Intersección con el eje - $t$ (raíces): Representan los tiempos en los que el balón toca el suelo ($h(t)=0$).
• Intersección con el eje - $h$: Representa la altura inicial del balón cuando $t = 0$.

Respuesta:

El vértice es el tiempo y la altura máxima del balón al ser lanzado. Las intersecciones con el eje - $t$ son los tiempos en los que el balón toca el suelo y la intersección con el eje - $h$ es la altura inicial.

6.

Breve Explicación:

Supongamos que una empresa fabrica y vende artículos. El costo de producción $C(x)$ en dólares para producir $x$ artículos está dado por la función $C(x)=-16x^{2}+32x + 4$. Aquí, $x$ es el número de artículos producidos. Una característica clave es el vértice. La coordenada $x$ del vértice representa el número de artículos que la empresa debe producir para minimizar el costo de producción (ya que $a=-16<0$, la parábola se abre hacia abajo). La coordenada $C(x)$ del vértice es el costo mínimo de producción.

Respuesta:

Una empresa que produce artículos con costo $C(x)=-16x^{2}+32x + 4$. El vértice representa el número de artículos para minimizar el costo y el costo mínimo.