Question

practica
la compañía smartway rental car tiene $180,000 para invertir en la compra de un máximo de 16 carros de dos tipos diferentes, compacto y grande.

carro	precio de compra	tarifa de alquiler	costo de mantenimiento
carro grande	$15,000	$48	$10

1 debido a la demanda, smartway tiene que comprar al menos 5 carros compactos.

a identifica las restricciones como un sistema de desigualdades lineales. define tus variables.

b grafica el conjunto de soluciones para el sistema de desigualdades lineales. etiqueta todos los puntos de intersección de las líneas límite.

c los ingresos de smartway provienen de alquilar sus carros. ¿cuántos de cada tipo de carro deben comprar si quieren maximizar sus ingresos? ¿cuál es el ingreso máximo?

Explanation:

Explicación:

Paso1: Definir las variables

Sea $x$ = número de carros compactos, $y$ = número de carros grandes.

Paso2: Establecer restricciones de cantidad

Límite máximo de autos: $x + y \leq 16$
Mínimo de carros compactos: $x \geq 5$
No hay cantidades negativas: $x \geq 0$, $y \geq 0$

Paso3: Establecer restricción de presupuesto

Costo total de compra: $9000x + 15000y \leq 180000$
Simplificar dividiendo por 3000: $3x + 5y \leq 60$

Paso4: Encontrar vértices de la región

1. Intersección $x=5$ y $3x+5y=60$:

Sustituir $x=5$: $3(5)+5y=60 \implies 15+5y=60 \implies 5y=45 \implies y=9$ → Punto $(5,9)$

1. Intersección $x=5$ y $x+y=16$:

Sustituir $x=5$: $5+y=16 \implies y=11$ → No cumple $3x+5y\leq60$ (3(5)+5(11)=70>60), se descarta.

1. Intersección $x+y=16$ y $3x+5y=60$:

Despejar $y=16-x$, sustituir: $3x+5(16-x)=60 \implies 3x+80-5x=60 \implies -2x=-20 \implies x=10$, $y=6$ → Punto $(10,6)$

1. Intersección $3x+5y=60$ y $y=0$:

$3x=60 \implies x=20$ → No cumple $x+y\leq16$, se descarta.

1. Intersección $x+y=16$ y $y=0$: $x=16$ → Punto $(16,0)$
2. Intersección $x=5$ y $y=0$: Punto $(5,0)$

Paso5: Definir función de ingresos

Ingresos totales: $I = 30x + 48y$

Paso6: Calcular ingresos en cada vértice

• En $(5,9)$: $I=30(5)+48(9)=150+432=582$
• En $(10,6)$: $I=30(10)+48(6)=300+288=588$
• En $(16,0)$: $I=30(16)+48(0)=480+0=480$
• En $(5,0)$: $I=30(5)+48(0)=150+0=150$

Respuesta:

a) Sistema de desigualdades (restricciones):

Variables: $x$ = número de carros compactos, $y$ = número de carros grandes

$$\begin{cases} x + y \leq 16 \\ 9000x + 15000y \leq 180000 \quad (\text{o } 3x + 5y \leq 60) \\ x \geq 5 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$

b) Vértices de la región de solución (puntos de intersección):

• $(5, 0)$
• $(5, 9)$
• $(10, 6)$
• $(16, 0)$

(La gráfica debe trazar las rectas de las desigualdades, sombrear la región común y etiquetar estos puntos)

c) Maximización de ingresos:

Deben comprar 10 carros compactos y 6 carros grandes. El ingreso máximo es $\$588$.

Answer:

Explicación:

Paso1: Definir las variables

Sea $x$ = número de carros compactos, $y$ = número de carros grandes.

Paso2: Establecer restricciones de cantidad

Límite máximo de autos: $x + y \leq 16$
Mínimo de carros compactos: $x \geq 5$
No hay cantidades negativas: $x \geq 0$, $y \geq 0$

Paso3: Establecer restricción de presupuesto

Costo total de compra: $9000x + 15000y \leq 180000$
Simplificar dividiendo por 3000: $3x + 5y \leq 60$

Paso4: Encontrar vértices de la región

1. Intersección $x=5$ y $3x+5y=60$:

Sustituir $x=5$: $3(5)+5y=60 \implies 15+5y=60 \implies 5y=45 \implies y=9$ → Punto $(5,9)$

1. Intersección $x=5$ y $x+y=16$:

Sustituir $x=5$: $5+y=16 \implies y=11$ → No cumple $3x+5y\leq60$ (3(5)+5(11)=70>60), se descarta.

1. Intersección $x+y=16$ y $3x+5y=60$:

Despejar $y=16-x$, sustituir: $3x+5(16-x)=60 \implies 3x+80-5x=60 \implies -2x=-20 \implies x=10$, $y=6$ → Punto $(10,6)$

1. Intersección $3x+5y=60$ y $y=0$:

$3x=60 \implies x=20$ → No cumple $x+y\leq16$, se descarta.

1. Intersección $x+y=16$ y $y=0$: $x=16$ → Punto $(16,0)$
2. Intersección $x=5$ y $y=0$: Punto $(5,0)$

Paso5: Definir función de ingresos

Ingresos totales: $I = 30x + 48y$

Paso6: Calcular ingresos en cada vértice

• En $(5,9)$: $I=30(5)+48(9)=150+432=582$
• En $(10,6)$: $I=30(10)+48(6)=300+288=588$
• En $(16,0)$: $I=30(16)+48(0)=480+0=480$
• En $(5,0)$: $I=30(5)+48(0)=150+0=150$

Respuesta:

a) Sistema de desigualdades (restricciones):

Variables: $x$ = número de carros compactos, $y$ = número de carros grandes

$$\begin{cases} x + y \leq 16 \\ 9000x + 15000y \leq 180000 \quad (\text{o } 3x + 5y \leq 60) \\ x \geq 5 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$

b) Vértices de la región de solución (puntos de intersección):

• $(5, 0)$
• $(5, 9)$
• $(10, 6)$
• $(16, 0)$

(La gráfica debe trazar las rectas de las desigualdades, sombrear la región común y etiquetar estos puntos)

c) Maximización de ingresos:

Deben comprar 10 carros compactos y 6 carros grandes. El ingreso máximo es $\$588$.