Question

question
simplify the expression to a + bi form:
$i^{85} - 9i^{76} - 8i^{85} + 5i^{111}$

Explanation:

Step1: Combine like terms

$i^{85} - 8i^{85} - 9i^{76} + 5i^{111} = -7i^{85} -9i^{76} +5i^{111}$

Step2: Reduce exponents using $i^4=1$

Recall $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. For any integer $n$, $i^n=i^{n\mod4}$.

• $85\mod4=1$, so $i^{85}=i^1=i$
• $76\mod4=0$, so $i^{76}=i^0=1$
• $111\mod4=3$, so $i^{111}=i^3=-i$

Step3: Substitute simplified powers

$-7(i) -9(1) +5(-i) = -7i -9 -5i$

Step4: Combine like terms

$-9 + (-7i -5i) = -9 -12i$

Answer:

$-9 - 12i$