Question

5 show that the triangle on the graph below is an isosceles triangle. 6 show that the triangle on the graph below is a right angled triangle. a(-1,-1) b(2,3) c(6,0) a(-1,-4) b(3,4) c(5,-2)

Explanation:

5번 문제:

Step1: 두 점 사이의 거리 공식 정의

두 점 $(x_1, y_1)$과 $(x_2, y_2)$ 사이의 거리는 $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$입니다.

Step2: $AB$ 거리 계산

$A(-1,-1)$, $B(2,3)$일 때, $AB=\sqrt{(2 - (-1))^2+(3 - (-1))^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5$.

Step3: $BC$ 거리 계산

$B(2,3)$, $C(6,0)$일 때, $BC=\sqrt{(6 - 2)^2+(0 - 3)^2}=\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{16 + 9}=\sqrt{25}=5$.

Step4: $AC$ 거리 계산

$A(-1,-1)$, $C(6,0)$일 때, $AC=\sqrt{(6 - (-1))^2+(0 - (-1))^2}=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{49 + 1}=\sqrt{50}$.

Step5:等腰三角形 확인

$AB = BC = 5$이므로, $\triangle ABC$는 이등변 삼각형입니다.

6번 문제:

Step1: 벡터의 개념 사용

벡터 $\overrightarrow{AB}=(x_2 - x_1,y_2 - y_1)$로 정의할 수 있습니다.

Step2: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AC}$ 계산

$A(-1,-4)$, $B(3,4)$, $C(5,-2)$일 때, $\overrightarrow{AB}=(3 - (-1),4 - (-4))=(4,8)$, $\overrightarrow{BC}=(5 - 3,-2 - 4)=(2,-6)$, $\overrightarrow{AC}=(5 - (-1),-2 - (-4))=(6,2)$.

Step3: 벡터의 내적 사용

두 벡터 $\vec{a}=(x_1,y_1)$, $\vec{b}=(x_2,y_2)$의 내적은 $\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2 + y_1y_2$입니다. 직각삼각형인지 확인하기 위해 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ 계산합니다.

Step4: $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}$ 계산

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=4\times2+8\times(-6)=8 - 48=-40$.

Step5: $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AC}$ 계산

$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times6+(-6)\times2 = 12-12 = 0$.

Step6: 직각삼각형 확인

$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AC}=0$이므로, $\overrightarrow{BC}$와 $\overrightarrow{AC}$는 수직입니다. 따라서 $\triangle ABC$는 직각 삼각형입니다.

Answer:

5번 문제: $\triangle ABC$는 이등변 삼각형입니다.
6번 문제: $\triangle ABC$는 직각 삼각형입니다.