Question

simplify.
\\(\sqrt{18xz^{12}}\\)
assume that all variables represent positive real numbers.

Explanation:

Step1: 分解被开方数

将\(18xz^{12}\)分解为\(9\times2\times x\times z^{12}\)，因为\(9\)是完全平方数，\(z^{12}\)的指数\(12\)是\(2\)的倍数。
\(\sqrt{18xz^{12}}=\sqrt{9\times2\times x\times z^{12}}\)

Step2: 利用根式的性质\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\)（\(a\geq0,b\geq0\)）拆分根式

\(\sqrt{9\times2\times x\times z^{12}}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{x}\cdot\sqrt{z^{12}}\)

Step3: 计算完全平方数的算术平方根

因为\(\sqrt{9} = 3\)，根据根式的性质\(\sqrt{a^{n}}=a^{\frac{n}{2}}\)（\(a\geq0\)），对于\(\sqrt{z^{12}}\)，\(n = 12\)，则\(\sqrt{z^{12}}=z^{\frac{12}{2}}=z^{6}\)。
所以\(\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{x}\cdot\sqrt{z^{12}} = 3\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{x}\cdot z^{6}\)

Step4: 合并结果

将各项相乘，得到\(3z^{6}\sqrt{2x}\)。

Answer:

\(3z^{6}\sqrt{2x}\)