Question

1. $y = x^2 - 5x + 6$
2. $y = x^2 + 4x + 7$

solve the following equations using the square root property. leave your answers in radical form when necessary.

1. $4x^2 - 7 = 57$
2. $-2x^2 + 11 = 1$
3. $5(x - 8)^2 = 45$

Explanation:

Ejercicios 7 y 8 (Tablas y gráficos)

Explicación:

Paso 1: Seleccionar valores de x

Elegimos valores de x alrededor del vértice de la parábola. Para $y=x^2-5x+6$, el vértice está en $x=\frac{5}{2}=2.5$, así que usamos $x=0,1,2,3,4$. Para $y=x^2+4x+7$, el vértice está en $x=-2$, así que usamos $x=-4,-3,-2,-1,0$.

Paso 2: Calcular valores de y (Ejercicio 7)

Sustituimos x en $y=x^2-5x+6$:

• $x=0$: $y=0^2-5(0)+6=6$
• $x=1$: $y=1^2-5(1)+6=2$
• $x=2$: $y=2^2-5(2)+6=0$
• $x=3$: $y=3^2-5(3)+6=0$
• $x=4$: $y=4^2-5(4)+6=2$

Paso 3: Calcular valores de y (Ejercicio 8)

Sustituimos x en $y=x^2+4x+7$:

• $x=-4$: $y=(-4)^2+4(-4)+7=7$
• $x=-3$: $y=(-3)^2+4(-3)+7=4$
• $x=-2$: $y=(-2)^2+4(-2)+7=3$
• $x=-1$: $y=(-1)^2+4(-1)+7=4$
• $x=0$: $y=0^2+4(0)+7=7$

Paso 4: Graficar las parábolas

Marcar los puntos calculados en la cuadrícula y trazar una curva suave por ellos. Las soluciones (raíces) son los valores de x donde $y=0$:

• Para $y=x^2-5x+6$, las soluciones son $x=2$ y $x=3$.
• Para $y=x^2+4x+7$, no hay soluciones reales (la parábola no corta el eje x).

Respuesta (Ejercicios 7 y 8):

1. Tabla para $y=x^2-5x+6$:

x	0	1	2	3	4

Soluciones: $x=2$, $x=3$

1. Tabla para $y=x^2+4x+7$:

x	-4	-3	-2	-1	0

Soluciones: No hay soluciones reales

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Ejercicios 9-11 (Propiedad de la raíz cuadrada)

Explicación:

Paso 1: Isolar el término cuadrático (Ejercicio 9)

Empezamos con $4x^2-7=57$:
$$4x^2=57+7$$
$$4x^2=64$$
$$x^2=\frac{64}{4}=16$$
Aplicamos la propiedad de la raíz cuadrada:
$$x=\pm\sqrt{16}=\pm4$$

Paso 2: Isolar el término cuadrático (Ejercicio 10)

Empezamos con $-2x^2+11=1$:
$$-2x^2=1-11$$
$$-2x^2=-10$$
$$x^2=\frac{-10}{-2}=5$$
Aplicamos la propiedad de la raíz cuadrada:
$$x=\pm\sqrt{5}$$

Paso 3: Isolar el término cuadrático (Ejercicio 11)

Empezamos con $5(x-8)^2=45$:
$$(x-8)^2=\frac{45}{5}=9$$
Aplicamos la propiedad de la raíz cuadrada:
$$x-8=\pm\sqrt{9}=\pm3$$
Despejamos x:
$$x=8\pm3$$
$$x=8+3=11 \quad \text{ó} \quad x=8-3=5$$

Respuesta (Ejercicios 9-11):

1. $x=4$ y $x=-4$
2. $x=\sqrt{5}$ y $x=-\sqrt{5}$
3. $x=11$ y $x=5$

Answer:

Ejercicios 7 y 8 (Tablas y gráficos)

Explicación:

Paso 1: Seleccionar valores de x

Elegimos valores de x alrededor del vértice de la parábola. Para $y=x^2-5x+6$, el vértice está en $x=\frac{5}{2}=2.5$, así que usamos $x=0,1,2,3,4$. Para $y=x^2+4x+7$, el vértice está en $x=-2$, así que usamos $x=-4,-3,-2,-1,0$.

Paso 2: Calcular valores de y (Ejercicio 7)

Sustituimos x en $y=x^2-5x+6$:

• $x=0$: $y=0^2-5(0)+6=6$
• $x=1$: $y=1^2-5(1)+6=2$
• $x=2$: $y=2^2-5(2)+6=0$
• $x=3$: $y=3^2-5(3)+6=0$
• $x=4$: $y=4^2-5(4)+6=2$

Paso 3: Calcular valores de y (Ejercicio 8)

Sustituimos x en $y=x^2+4x+7$:

• $x=-4$: $y=(-4)^2+4(-4)+7=7$
• $x=-3$: $y=(-3)^2+4(-3)+7=4$
• $x=-2$: $y=(-2)^2+4(-2)+7=3$
• $x=-1$: $y=(-1)^2+4(-1)+7=4$
• $x=0$: $y=0^2+4(0)+7=7$

Paso 4: Graficar las parábolas

Marcar los puntos calculados en la cuadrícula y trazar una curva suave por ellos. Las soluciones (raíces) son los valores de x donde $y=0$:

• Para $y=x^2-5x+6$, las soluciones son $x=2$ y $x=3$.
• Para $y=x^2+4x+7$, no hay soluciones reales (la parábola no corta el eje x).

Respuesta (Ejercicios 7 y 8):

1. Tabla para $y=x^2-5x+6$:

x	0	1	2	3	4

Soluciones: $x=2$, $x=3$

1. Tabla para $y=x^2+4x+7$:

x	-4	-3	-2	-1	0

Soluciones: No hay soluciones reales

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Ejercicios 9-11 (Propiedad de la raíz cuadrada)

Explicación:

Paso 1: Isolar el término cuadrático (Ejercicio 9)

Empezamos con $4x^2-7=57$:
$$4x^2=57+7$$
$$4x^2=64$$
$$x^2=\frac{64}{4}=16$$
Aplicamos la propiedad de la raíz cuadrada:
$$x=\pm\sqrt{16}=\pm4$$

Paso 2: Isolar el término cuadrático (Ejercicio 10)

Empezamos con $-2x^2+11=1$:
$$-2x^2=1-11$$
$$-2x^2=-10$$
$$x^2=\frac{-10}{-2}=5$$
Aplicamos la propiedad de la raíz cuadrada:
$$x=\pm\sqrt{5}$$

Paso 3: Isolar el término cuadrático (Ejercicio 11)

Empezamos con $5(x-8)^2=45$:
$$(x-8)^2=\frac{45}{5}=9$$
Aplicamos la propiedad de la raíz cuadrada:
$$x-8=\pm\sqrt{9}=\pm3$$
Despejamos x:
$$x=8\pm3$$
$$x=8+3=11 \quad \text{ó} \quad x=8-3=5$$

Respuesta (Ejercicios 9-11):

1. $x=4$ y $x=-4$
2. $x=\sqrt{5}$ y $x=-\sqrt{5}$
3. $x=11$ y $x=5$