Question

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \underline{quadquad} = \underline{quadquad}
step 2: find the y-intercept (b). look for x = 0 \
ightarrow the y value next to it is your y-intercept:
b = \underline{quadquad}

step 3: write the equation. use slope-intercept form of an equation. replace m with the slope you calculated and b with the y-intercept you identified:
y = mx + b
y = \underline{quadquad}x + \underline{quadquad}

example 4 (textbook page 590, example 3): engineers are digging a 3500-foot long tunnel at a constant rate. after 4 months, the engineers still need to dig 1500 feet to finish the project. how much time does it take to complete the tunnel from start to finish?
a) write an equation of the line that represents the distance y (in feet) remaining after x months.
b) use your equation to determine how long it takes to complete the tunnel.

Explanation:

Parte a)

Explicación:

Paso 1: Encontrar la pendiente (\(m\))

La tasa de cambio (pendiente) representa la distancia excavada por mes. Inicialmente (\(x = 0\)), la distancia restante es 3500 pies (\(y = 3500\)). Después de 4 meses (\(x = 4\)), la distancia restante es 1500 pies (\(y = 1500\)). Usamos la fórmula de la pendiente \(m=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\).
\(m=\frac{1500 - 3500}{4 - 0}=\frac{-2000}{4}=- 500\)

Paso 2: Encontrar el intercepto \(y\) (\(b\))

El intercepto \(y\) es el valor de \(y\) cuando \(x = 0\). Cuando \(x = 0\) (inicio), la distancia restante es 3500 pies, así que \(b = 3500\).

Paso 3: Escribir la ecuación

La forma de pendiente - intercepto es \(y=mx + b\). Sustituimos \(m=-500\) y \(b = 3500\).
\(y=-500x + 3500\)

Parte b)

Explicación:

Para completar el túnel, la distancia restante \(y = 0\). Sustituimos \(y = 0\) en la ecuación \(y=-500x + 3500\) y resolvemos para \(x\).

Paso 1: Sustituir \(y = 0\) en la ecuación

\(0=-500x + 3500\)

Paso 2: Resolver para \(x\)

Sumamos \(500x\) a ambos lados: \(500x=3500\)
Dividimos ambos lados por 500: \(x=\frac{3500}{500}=7\)

Respuestas:

a)

Respuesta:

\(y=-500x + 3500\)

b)

Respuesta:

7 meses

Answer:

Parte a)

Explicación:

Paso 1: Encontrar la pendiente (\(m\))

La tasa de cambio (pendiente) representa la distancia excavada por mes. Inicialmente (\(x = 0\)), la distancia restante es 3500 pies (\(y = 3500\)). Después de 4 meses (\(x = 4\)), la distancia restante es 1500 pies (\(y = 1500\)). Usamos la fórmula de la pendiente \(m=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\).
\(m=\frac{1500 - 3500}{4 - 0}=\frac{-2000}{4}=- 500\)

Paso 2: Encontrar el intercepto \(y\) (\(b\))

El intercepto \(y\) es el valor de \(y\) cuando \(x = 0\). Cuando \(x = 0\) (inicio), la distancia restante es 3500 pies, así que \(b = 3500\).

Paso 3: Escribir la ecuación

La forma de pendiente - intercepto es \(y=mx + b\). Sustituimos \(m=-500\) y \(b = 3500\).
\(y=-500x + 3500\)

Parte b)

Explicación:

Para completar el túnel, la distancia restante \(y = 0\). Sustituimos \(y = 0\) en la ecuación \(y=-500x + 3500\) y resolvemos para \(x\).

Paso 1: Sustituir \(y = 0\) en la ecuación

\(0=-500x + 3500\)

Paso 2: Resolver para \(x\)

Sumamos \(500x\) a ambos lados: \(500x=3500\)
Dividimos ambos lados por 500: \(x=\frac{3500}{500}=7\)

Respuestas:

a)

Respuesta:

\(y=-500x + 3500\)

b)

Respuesta:

7 meses