Question

$overleftrightarrow{pq}$ is tangent to $odot n$. what is $mangle s$? $mangle s=$

Explanation:

Step1: Recordar propiedad de tangente

La tangente a un círculo forma un ángulo recto (90°) con el radio en el punto de contacto. Así, los ángulos entre $\overrightarrow{QP}$, $\overrightarrow{QS}$ y los radios correspondientes son 90° cada uno.

Step2: Usar suma de ángulos en un cuadrilátero

El cuadrilátero formado por Q, el punto de tangencia en P, N, y el punto de tangencia en S tiene dos ángulos de 90° y el ángulo $\angle Q = 23°$. La suma de ángulos internos de un cuadrilátero es $360°$. Sea $\angle S = x$ (ángulo central correspondiente a $\overset{\frown}{PS}$), entonces:
$$90° + 90° + 23° + x = 360°$$

Step3: Calcular el ángulo central

Resolver para $x$:
$$x = 360° - 90° - 90° - 23° = 157°$$

Step4: Relacionar ángulo inscrito y central

El ángulo $\angle S$ que se pide es un ángulo inscrito que intercepta el mismo arco que el ángulo central? No, correción: $\angle S$ es el ángulo inscrito en el círculo que intercepta $\overset{\frown}{PS}$. El ángulo inscrito es la mitad del ángulo central que intercepta el mismo arco. Pero primero, el arco opuesto a $\angle S$ es $\overset{\frown}{PQ}$. El ángulo $\angle Q = 23°$ es el ángulo formado por dos tangentes, que es igual a la mitad de la diferencia de los arcos interceptados:
$$\angle Q = \frac{1}{2}(\text{arco mayor } PS - \text{arco menor } PS)$$
Llamar arco menor $PS = y$, entonces arco mayor $PS = 360° - y$. Entonces:
$$23° = \frac{1}{2}((360° - y) - y)$$
$$46° = 360° - 2y$$
$$2y = 360° - 46° = 314°$$
$$y = 157°$$
Ahora, $\angle S$ es un ángulo inscrito que intercepta $\overset{\frown}{PQ}$, que es la mitad del arco restante? No, $\angle S$ está en el círculo, en el punto S, así que intercepta $\overset{\frown}{PQ}$. El arco $\overset{\frown}{PQ} = \frac{360° - 157°}{2} = 101.5°$? No, mejor: el ángulo inscrito es la mitad del arco que no intercepta. Correción final: El ángulo formado por una tangente y una cuerda es igual a la mitad del arco interceptado. En el punto S, la tangente QS y la cuerda SP forman un ángulo que es la mitad de $\overset{\frown}{PS}$. Pero $\angle S$ es el ángulo en el círculo, así que $\angle S = \frac{1}{2}(\text{arco que no intercepta})$. El ángulo $\angle Q = 23°$, el ángulo que buscamos $\angle S$ es complementario con la mitad de $\angle Q$? No, paso correcto:
Si $\overrightarrow{QP}$ y $\overrightarrow{QS}$ son tangentes, entonces $QP = QS$, así que el triángulo QPS es isósceles, con $\angle QPS = \angle QSP$. Pero $\angle QPS$ es igual a la mitad del arco $\overset{\frown}{PS}$ (propiedad de tangente y cuerda). El arco $\overset{\frown}{PS} = 180° - 23° = 157°$? No, la suma de $\angle Q$ y el ángulo central correspondiente a $\overset{\frown}{PS}$ es 180°? No, la propiedad es que el ángulo entre dos tangentes es igual a 180° menos el ángulo central del arco interceptado. Así:
$$\angle Q = 180° - \text{ángulo central } \angle PNS$$
$$23° = 180° - \angle PNS$$
$$\angle PNS = 157°$$
Ahora, $\angle S$ es un ángulo inscrito que intercepta el arco $\overset{\frown}{PQ}$, que es $\frac{360° - 157°}{2} = 101.5°$? No, $\angle S$ está en el punto S, así que intercepta el arco $\overset{\frown}{PQ}$, que es la mitad del ángulo central? No, el ángulo inscrito es la mitad del arco que intercepta. El arco $\overset{\frown}{PQ}$ es $180° - 157°/2$? No, error anterior: el ángulo entre dos tangentes es $\frac{1}{2}(\text{arco mayor} - \text{arco menor})$. Entonces:
$$23° = \frac{1}{2}(\text{arco mayor } PS - \text{arco menor } PS)$$
$$\text{arco mayor } PS + \text{arco menor } PS = 360°$$
Llamar arco menor $PS = a$, arco mayor $PS = 360° - a$. Entonces:
$$23° = \frac{1}{2}((360° - a) - a) = \frac{1}{2}(360° - 2a) = 180° - a$$
$$a = 180° - 23° = 157°$$
Ahora, $\angle S$ es un ángulo inscrito que intercepta el arco $\overset{\frown}{PQ}$, que es $\frac{360° - 157°}{2} = 101.5°$? No, $\angle S$ es el ángulo en el círculo, en el punto S, así que $\angle S$ intercepta el arco $\overset{\frown}{PQ}$, que es igual a $\frac{1}{2}$ del arco que no es $PS$. El arco $\overset{\frown}{PQ} = \frac{360° - 157°}{2} = 101.5°$, entonces $\angle S = \frac{1}{2} \times 101.5°$? No, no, el ángulo inscrito es la mitad del arco que intercepta. Si $\angle S$ está en S, intercepta el arco $\overset{\frown}{PQ}$, así que $\angle S = \frac{1}{2} \times \text{arco } PQ$. Pero el arco $PQ$ es igual a $180° - \frac{157°}{2}$? No, mejor usar el triángulo QNS: $\angle QSN = 90°$ (tangente y radio), así que en el triángulo QNS, $\angle Q = 23°$, $\angle QSN = 90°$, entonces $\angle QNS = 67°$. Pero $\angle QNS$ es el ángulo entre el radio NS y la línea QN, y $\angle S$ es el ángulo inscrito que es la mitad del ángulo central correspondiente al arco opuesto. El ángulo central correspondiente al arco que intercepta $\angle S$ es $180° - 67° = 113°$? No, la respuesta correcta es que $\angle S = 90° - 23° = 67°$? No, correción final:
El ángulo formado por una tangente y una cuerda es igual a la mitad del arco interceptado. En el punto S, la tangente QS y la cuerda SP forman un ángulo que es la mitad del arco $\overset{\frown}{PS} = 157°$, así que ese ángulo es $78.5°$, pero no es el ángulo que se pide. El ángulo $\angle S$ que se pide es el ángulo inscrito en el círculo, que intercepta el arco $\overset{\frown}{PQ}$. El ángulo $\angle Q = 23°$ es el ángulo entre dos tangentes, así que el arco $\overset{\frown}{PQ} = \frac{1}{2}(360° - 2 \times 23°) = 157°$? No, la fórmula correcta es que el ángulo entre dos tangentes es $\frac{1}{2}(\text{arco mayor} - \text{arco menor})$, así que el arco menor es $180° - 23° = 157°$, y el ángulo inscrito que intercepta el arco mayor es $\frac{1}{2} \times (360° - 157°) = 101.5°$, pero no. La respuesta correcta es $\angle S = 90° - 23° = 67°$? No, el error es que el ángulo en el punto S, que es un ángulo inscrito, es igual a $90° - \frac{1}{2}\angle Q = 90° - 11.5° = 78.5°$? No, volviendo a la propiedad: el ángulo entre dos tangentes es $\angle Q = 23°$, el ángulo central correspondiente al arco interceptado es $180° - 23° = 157°$, y el ángulo inscrito que intercepta el mismo arco es la mitad, $78.5°$, pero no. La respuesta correcta es $\boxed{78.5°}$? No, no, la suma de $\angle Q$ y $2\angle S = 180°$, así que $\angle S = \frac{180° - 23°}{2} = 78.5°$. Sí, eso es correcto, porque en el triángulo formado por Q, el centro N, y el punto S, $\angle QSN = 90°$, $\angle NQS = 11.5°$ (mitad de $\angle Q$), así que $\angle QNS = 78.5°$, y $\angle S$ es igual a $\angle QNS$? No, $\angle S$ es el ángulo inscrito, que es la mitad del ángulo central correspondiente al arco opuesto. El ángulo central correspondiente al arco opuesto a $\angle S$ es $157°$, así que $\angle S = \frac{1}{2} \times 157° = 78.5°$.

Answer:

$78.5°$