Question

from a viewing height of h feet, the approximate distance d to the horizon, in miles, is given by the equation d = \sqrt{\frac{3h}{2}}
a) to the nearest mile, what is the distance to the horizon from a height of 90 ft? 135 ft? 180 ft?
b) how does the distance to the horizon increase as the height increases?
(simplify your answer. type an exact answer, using radicals as needed. rationalize all denominators.)
a person could see \frac{9\sqrt{10}}{2} miles from a height of 135 feet.
(simplify your answer. type an exact answer, using radicals as needed. rationalize all denominators.)
a person could see \square miles from a height of 180 feet.
(simplify your answer. type an exact answer, using radicals as needed. rationalize all denominators.)
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Explanation:

a) Distancia al horizonte para diferentes alturas

La fórmula para la distancia \( d \) (en millas) al horizonte desde una altura \( h \) (en pies) es \( d = \frac{\sqrt{3h}}{2} \). Vamos a calcular \( d \) para \( h = 90 \), \( h = 135 \) y \( h = 180 \):

Para \( h = 90 \) pies:

Step 1: Sustituir \( h = 90 \) en la fórmula

\( d = \frac{\sqrt{3 \times 90}}{2} \)

Step 2: Simplificar el radical

\( 3 \times 90 = 270 \), así que \( d = \frac{\sqrt{270}}{2} \). Simplificamos \( \sqrt{270} \): \( 270 = 9 \times 30 \), entonces \( \sqrt{270} = \sqrt{9 \times 30} = 3\sqrt{30} \).

Step 3: Racionalizar (si es necesario) y simplificar

\( d = \frac{3\sqrt{30}}{2} \) millas.

Para \( h = 135 \) pies:

Step 1: Sustituir \( h = 135 \) en la fórmula

\( d = \frac{\sqrt{3 \times 135}}{2} \)

Step 2: Simplificar el radical

\( 3 \times 135 = 405 \), así que \( d = \frac{\sqrt{405}}{2} \). Simplificamos \( \sqrt{405} \): \( 405 = 81 \times 5 \), entonces \( \sqrt{405} = \sqrt{81 \times 5} = 9\sqrt{5} \).

Step 3: Simplificar la fracción

\( d = \frac{9\sqrt{5}}{2} \) millas.

Para \( h = 180 \) pies:

Step 1: Sustituir \( h = 180 \) en la fórmula

\( d = \frac{\sqrt{3 \times 180}}{2} \)

Step 2: Simplificar el radical

\( 3 \times 180 = 540 \), así que \( d = \frac{\sqrt{540}}{2} \). Simplificamos \( \sqrt{540} \): \( 540 = 36 \times 15 \), entonces \( \sqrt{540} = \sqrt{36 \times 15} = 6\sqrt{15} \).

Step 3: Simplificar la fracción

\( d = \frac{6\sqrt{15}}{2} = 3\sqrt{15} \) millas.

b) Cálculo aproximado (a la milla más cercana)

Usamos la fórmula \( d \approx \frac{\sqrt{3h}}{2} \) y redondeamos al entero más cercano:

Para \( h = 90 \) pies:

\( d = \frac{\sqrt{270}}{2} \approx \frac{16.43}{2} \approx 8.21 \), redondeado a \( 8 \) millas.

Para \( h = 135 \) pies:

\( d = \frac{\sqrt{405}}{2} \approx \frac{20.12}{2} \approx 10.06 \), redondeado a \( 10 \) millas.

Para \( h = 180 \) pies:

\( d = \frac{\sqrt{540}}{2} \approx \frac{23.24}{2} \approx 11.62 \), redondeado a \( 12 \) millas.

c) Cómo aumenta la distancia al horizonte

La fórmula \( d = \frac{\sqrt{3h}}{2} \) es una función creciente de \( h \) (ya que la raíz cuadrada es una función creciente). Esto significa que a medida que la altura \( h \) aumenta, la distancia \( d \) al horizonte también aumenta, pero a una tasa decreciente (por la raíz cuadrada).

Resumen de respuestas (a):

• Para \( h = 90 \) pies: \( \boldsymbol{\frac{3\sqrt{30}}{2}} \) millas (o \( \approx 8 \) millas).
• Para \( h = 135 \) pies: \( \boldsymbol{\frac{9\sqrt{5}}{2}} \) millas (o \( \approx 10 \) millas).
• Para \( h = 180 \) pies: \( \boldsymbol{3\sqrt{15}} \) millas (o \( \approx 12 \) millas).

Respuesta (b):

La distancia al horizonte aumenta a medida que la altura aumenta (relación directa con la raíz cuadrada de la altura).

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Solución detallada para la altura de 180 pies (subpregunta)

Para \( h = 180 \) pies:

Step 1: Sustituir \( h = 180 \) en \( d = \frac{\sqrt{3h}}{2} \)

\( d = \frac{\sqrt{3 \times 180}}{2} \)

Step 2: Calcular dentro del radical

\( 3 \times 180 = 540 \), así que \( d = \frac{\sqrt{540}}{2} \)

Step 3: Simplificar \( \sqrt{540} \)

\( 540 = 36 \times 15 \), entonces \( \sqrt{540} = \sqrt{36 \times 15} = 6\sqrt{15} \)

Step 4: Dividir por 2

\( d = \frac{6\sqrt{15}}{2} = 3\sqrt{15} \)

Answer:

Para \( h = 180 \) pies, la distancia exacta es \( \boldsymbol{3\sqrt{15}} \) millas (o aproximadamente \( \boldsymbol{12} \) millas).