Question

1. ((x^{4}+2x^{2}-x + 5)div(x^{2}-x + 1))

Explanation:

Step1: Realizar la división polinómica

Dividimos \(x^4 + 2x^2 - x + 5\) por \(x^2 - x + 1\) usando la división de polinomios. Primero, dividimos el término de mayor grado del dividendo (\(x^4\)) por el término de mayor grado del divisor (\(x^2\)): \(\frac{x^4}{x^2}=x^2\).
Luego, multiplicamos el divisor \(x^2 - x + 1\) por \(x^2\): \(x^2(x^2 - x + 1)=x^4 - x^3 + x^2\).
Restamos este resultado del dividendo:
\[

$$\begin{align*} &(x^4 + 2x^2 - x + 5)-(x^4 - x^3 + x^2)\\ =&x^4 + 2x^2 - x + 5 - x^4 + x^3 - x^2\\ =&x^3 + x^2 - x + 5 \end{align*}$$

\]

Step2: Continuar la división

Ahora, dividimos el término de mayor grado del nuevo dividendo (\(x^3\)) por el término de mayor grado del divisor (\(x^2\)): \(\frac{x^3}{x^2}=x\).
Multiplicamos el divisor \(x^2 - x + 1\) por \(x\): \(x(x^2 - x + 1)=x^3 - x^2 + x\).
Restamos este resultado del nuevo dividendo:
\[

$$\begin{align*} &(x^3 + x^2 - x + 5)-(x^3 - x^2 + x)\\ =&x^3 + x^2 - x + 5 - x^3 + x^2 - x\\ =&2x^2 - 2x + 5 \end{align*}$$

\]

Step3: Continuar la división

Dividimos el término de mayor grado del nuevo dividendo (\(2x^2\)) por el término de mayor grado del divisor (\(x^2\)): \(\frac{2x^2}{x^2}=2\).
Multiplicamos el divisor \(x^2 - x + 1\) por \(2\): \(2(x^2 - x + 1)=2x^2 - 2x + 2\).
Restamos este resultado del nuevo dividendo:
\[

$$\begin{align*} &(2x^2 - 2x + 5)-(2x^2 - 2x + 2)\\ =&2x^2 - 2x + 5 - 2x^2 + 2x - 2\\ =&3 \end{align*}$$

\]

Step4: Escribir el resultado

La división se puede expresar como:
\[
\frac{x^4 + 2x^2 - x + 5}{x^2 - x + 1}=x^2 + x + 2+\frac{3}{x^2 - x + 1}
\]

Answer:

El resultado de la división es \(x^2 + x + 2+\frac{3}{x^2 - x + 1}\)