Question

7 calculate the altitude ah in the triangle below. given the endpoints a(2,1), b(1,6) and c(6,2) are the vertices of triangle abc, calculate the length of altitude ah from vertex a.

Explanation:

Step1: BC 선분의 기울기 계산

BC 선분의 기울기 $m_{BC}=\frac{y_B - y_C}{x_B - x_C}=\frac{2 - 3}{6 - 1}=-\frac{1}{5}$입니다.

Step2: AH의 기울기 계산

두 직선이 수직일 때 기울기의 곱은 -1입니다. 따라서 $m_{AH}=5$입니다.

Step3: AH의 방정식 구하기

점 - 기울기 형식 $y - y_1=m(x - x_1)$을 사용하여, $A(4,6)$과 $m = 5$를 대입하면 $y-6 = 5(x - 4)$이고, 이를 정리하면 $y=5x - 14$입니다.

Step4: BC의 방정식 구하기

점 - 기울기 형식을 사용하여, $C(1,3)$과 $m_{BC}=-\frac{1}{5}$를 대입하면 $y - 3=-\frac{1}{5}(x - 1)$이고, 이를 정리하면 $y=-\frac{1}{5}x+\frac{16}{5}$입니다.

Step5: 교점 H의 좌표 구하기

$5x - 14=-\frac{1}{5}x+\frac{16}{5}$를 풀면,
$25x-70=-x + 16$,
$26x=86$,
$x=\frac{43}{13}$입니다.
$x=\frac{43}{13}$을 $y = 5x - 14$에 대입하면 $y=5\times\frac{43}{13}-14=\frac{215}{13}-\frac{182}{13}=\frac{33}{13}$입니다. 따라서 $H(\frac{43}{13},\frac{33}{13})$입니다.

Step6: AH의 길이 계산

두 점 사이의 거리 공식 $d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$를 사용하여, $A(4,6)$과 $H(\frac{43}{13},\frac{33}{13})$ 사이의 거리 $AH$를 구합니다.
$AH=\sqrt{(4-\frac{43}{13})^2+(6 - \frac{33}{13})^2}$
$=\sqrt{(\frac{52 - 43}{13})^2+(\frac{78 - 33}{13})^2}$
$=\sqrt{(\frac{9}{13})^2+(\frac{45}{13})^2}$
$=\sqrt{\frac{81+2025}{169}}=\sqrt{\frac{2106}{169}}=\frac{3\sqrt{234}}{13}=\frac{9\sqrt{26}}{13}$입니다.

Answer:

$\frac{9\sqrt{26}}{13}$