Question

complete the proof that ∠uyv ≅ ∠wyx.
diagram: intersecting lines at y with points x (top), u (top-right), w (bottom-left), v (bottom-right)

statement	reason
2 ( mangle vyw + mangle wyx = 180^circ )	dropdown
3 ( mangle uyv + mangle vyw = mangle vyw + mangle wyx )	dropdown
4 ( mangle uyv = mangle wyx )	properties of addition, subtraction, multiplication, and division
5 ( angle uyv cong angle wyx )	definition of congruence

Explanation:

Step1: Analizar la razón para el primer enunciado

La razón para \( m\angle UYV + m\angle VYW = 180^\circ \) es que \( \angle UYV \) y \( \angle VYW \) son ángulos suplementarios (forman una línea recta, es decir, son ángulos lineales). Entonces, la razón es "Ángulos lineales son suplementarios" (o "Definición de ángulos lineales: suman \( 180^\circ \)").

Step2: Analizar la razón para el segundo enunciado

Para \( m\angle VYW + m\angle WYX = 180^\circ \), de nuevo, \( \angle VYW \) y \( \angle WYX \) son ángulos lineales (forman una línea recta), por lo que la razón también es "Ángulos lineales son suplementarios" (o "Definición de ángulos lineales: suman \( 180^\circ \)").

Step3: Analizar la razón para el tercer enunciado

El tercer enunciado \( m\angle UYV + m\angle VYW = m\angle VYW + m\angle WYX \) se obtiene por la "Propiedad de la igualdad: si \( a + b = 180^\circ \) y \( b + c = 180^\circ \), entonces \( a + b = b + c \)" (esto se llama "Sustitución de igualdades" o "Transitividad de la igualdad" en este contexto, ya que ambos lados son iguales a \( 180^\circ \)). Entonces, la razón es "Sustitución (o Transitividad de la igualdad)".

Step4: Analizar la razón para el cuarto enunciado

El cuarto enunciado \( m\angle UYV = m\angle WYX \) se obtiene restando \( m\angle VYW \) de ambos lados de la ecuación del tercer enunciado, lo que se justifica por la "Propiedad de la igualdad (sustracción)" (es decir, si \( a + b = b + c \), entonces \( a = c \) al restar \( b \) de ambos lados).

Razonamiento detallado para cada paso:

1. Paso 1 (Enunciado 1):

\( \angle UYV \) y \( \angle VYW \) son ángulos adyacentes que forman una línea recta (son ángulos lineales). Por definición, ángulos lineales son suplementarios, lo que significa que su medida suma \( 180^\circ \).
Razón: Ángulos lineales son suplementarios (definición de ángulos lineales).

1. Paso 2 (Enunciado 2):

Similar al paso 1, \( \angle VYW \) y \( \angle WYX \) son ángulos lineales (forman una línea recta), por lo que su medida también suma \( 180^\circ \).
Razón: Ángulos lineales son suplementarios (definición de ángulos lineales).

1. Paso 3 (Enunciado 3):

De los pasos 1 y 2, sabemos que \( m\angle UYV + m\angle VYW = 180^\circ \) y \( m\angle VYW + m\angle WYX = 180^\circ \). Por la propiedad de la igualdad (si \( A = C \) y \( B = C \), entonces \( A = B \), conocida como transitividad), podemos afirmar que \( m\angle UYV + m\angle VYW = m\angle VYW + m\angle WYX \).
Razón: Transitividad de la igualdad (o sustitución de igualdades, ya que ambos lados son iguales a \( 180^\circ \)).

1. Paso 4 (Enunciado 4):

Al restar \( m\angle VYW \) de ambos lados de la ecuación del paso 3 (\( m\angle UYV + m\angle VYW = m\angle VYW + m\angle WYX \)), se obtiene \( m\angle UYV = m\angle WYX \). Esta operación se justifica por la propiedad de la igualdad (sustracción) (si \( a + b = b + c \), entonces \( a = c \) al restar \( b \) de ambos lados).

Answer:

Paso 1 (Enunciado 1):

Razón: Ángulos lineales son suplementarios (definición de ángulos lineales)

Paso 2 (Enunciado 2):

Razón: Ángulos lineales son suplementarios (definición de ángulos lineales)

Paso 3 (Enunciado 3):

Razón: Transitividad de la igualdad (o sustitución de igualdades)

Paso 4 (Enunciado 4):

Razón: Propiedad de la igualdad (sustracción) (ya que se resta \( m\angle VYW \) de ambos lados)

(Nota: La estructura final depende de cómo se solicite completar la tabla, pero los razonamientos anteriores corresponden a cada enunciado.)