Question

compute ( i^{972} ).

Explanation:

Step1: Recordar el ciclo de las potencias de \(i\)

Las potencias de la unidad imaginaria \(i\) tienen un ciclo de 4:

• \(i^1 = i\)
• \(i^2 = -1\)
• \(i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i\)
• \(i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1\)

Después, el ciclo se repite: \(i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i\), \(i^6 = i^4 \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1\), etc.

Step2: Dividir el exponente por 4

Para encontrar \(i^{972}\), dividimos el exponente 972 entre 4 y encontramos el residuo. Si el residuo es 0, significa que la potencia es un múltiplo de 4, y por lo tanto, \(i^{\text{múltiplo de 4}} = 1\).

Calculamos el cociente y el residuo de \(972 \div 4\):
\(972 \div 4 = 243\) con un residuo de 0 (ya que \(4 \times 243 = 972\)).

Step3: Determinar el valor de \(i^{972}\)

Dado que el residuo de \(972 \div 4\) es 0, \(i^{972} = (i^4)^{243}\). Pero sabemos que \(i^4 = 1\), por lo tanto:
\(i^{972} = (1)^{243} = 1\)

Answer:

\(1\)