Question

on considère lexpression e = 4x² - 9 - (x + 2)(2x - 3).

1. montrer que e est un polynôme de degré 2.
2. résoudre dans ℝ, léquation e = -3.
3. calculer la valeur de e pour x = -1 et x = √3.
4. donner un encadrement de e pour et x = √3 par deux décimaux consécutifs dordre 1 sachant que 1,732 < √3 < 1,733.
5. justifier que e = (2x - 3)(x + 1).
6. résoudre dans ℝ, léquation (2x - 3)(x + 1) = 0.

Explanation:

Exercice 12

1) Montrer que E est un polynôme de degré 2.

Explications étape par étape :

Étape 1: Développer le produit

$(x+2)(2x-3) = 2x^2 -3x +4x -6 = 2x^2 +x -6$

Étape 2: Remplacer dans E

$E = 4x^2 -9 - (2x^2 +x -6)$

Étape 3: Simplifier l'expression

$E = 4x^2 -9 -2x^2 -x +6 = 2x^2 -x -3$

Étape 4: Vérifier le degré

Le terme de plus haut degré est $2x^2$, de degré 2.

Réponse:

E est un polynôme de degré 2, car sa forme développée est $E=2x^2 -x -3$.

---

2) Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation $E=-3$.

Explications étape par étape :

Étape 1: Écrire l'équation

$2x^2 -x -3 = -3$

Étape 2: Simplifier l'équation

$2x^2 -x -3 +3 = 0 \implies 2x^2 -x = 0$

Étape 3: Factoriser

$x(2x -1) = 0$

Étape 4: Trouver les solutions

Un produit est nul si un des facteurs est nul :
$x=0$ ou $2x-1=0 \implies x=\frac{1}{2}$

Réponse:

Les solutions sont $x=0$ et $x=\frac{1}{2}$.

---

3) Calculer la valeur de E pour $x=-1$ et $x=\sqrt{3}$.

Explications étape par étape :

Pour $x=-1$ :

Étape 1: Remplacer $x=-1$ dans E

$E=2(-1)^2 - (-1) -3$

Étape 2: Calculer

$E=2\times1 +1 -3 = 2+1-3=0$

Pour $x=\sqrt{3}$ :

Étape 1: Remplacer $x=\sqrt{3}$ dans E

$E=2(\sqrt{3})^2 - \sqrt{3} -3$

Étape 2: Calculer

$E=2\times3 - \sqrt{3} -3 = 6 -3 - \sqrt{3} = 3 - \sqrt{3}$

Réponse:

• Pour $x=-1$, $E=0$
• Pour $x=\sqrt{3}$, $E=3-\sqrt{3}$

---

4) Donner un encadrement de E pour $x=\sqrt{3}$ par deux décimaux consécutifs, sachant que $1,732 < \sqrt{3} < 1,733$.

Explications étape par étape :

Étape 1: Utiliser l'encadrement de $\sqrt{3}$

On a $E=3-\sqrt{3}$, donc on inverse les inégalités :
$-1,733 < -\sqrt{3} < -1,732$

Étape 2: Ajouter 3 à chaque terme

$3 -1,733 < 3-\sqrt{3} < 3 -1,732$

Étape 3: Calculer les valeurs

$1,267 < E < 1,268$

Réponse:

L'encadrement de E est $1,267 < E < 1,268$.

---

5) Justifier que $E=(2x-3)(x+1)$.

Explications étape par étape :

Étape 1: Développer le produit

$(2x-3)(x+1) = 2x^2 +2x -3x -3$

Étape 2: Simplifier

$2x^2 -x -3$

Étape 3: Comparer avec E

Cette expression est identique à la forme développée de E trouvée à l'étape 1.

Réponse:

Le développement de $(2x-3)(x+1)$ donne $2x^2 -x -3$, qui est égal à E.

---

6) Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation $(2x-3)(x+1)=0$.

Explications étape par étape :

Étape 1: Appliquer la règle du produit nul

Un produit est nul si l'un des facteurs est nul :
Soit $2x-3=0$, soit $x+1=0$

Étape 2: Résoudre chaque équation

• $2x-3=0 \implies x=\frac{3}{2}$
• $x+1=0 \implies x=-1$

Réponse:

Les solutions sont $x=-1$ et $x=\frac{3}{2}$.

Answer:

Exercice 12

1) Montrer que E est un polynôme de degré 2.

Explications étape par étape :

Étape 1: Développer le produit

$(x+2)(2x-3) = 2x^2 -3x +4x -6 = 2x^2 +x -6$

Étape 2: Remplacer dans E

$E = 4x^2 -9 - (2x^2 +x -6)$

Étape 3: Simplifier l'expression

$E = 4x^2 -9 -2x^2 -x +6 = 2x^2 -x -3$

Étape 4: Vérifier le degré

Le terme de plus haut degré est $2x^2$, de degré 2.

Réponse:

E est un polynôme de degré 2, car sa forme développée est $E=2x^2 -x -3$.

---

2) Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation $E=-3$.

Explications étape par étape :

Étape 1: Écrire l'équation

$2x^2 -x -3 = -3$

Étape 2: Simplifier l'équation

$2x^2 -x -3 +3 = 0 \implies 2x^2 -x = 0$

Étape 3: Factoriser

$x(2x -1) = 0$

Étape 4: Trouver les solutions

Un produit est nul si un des facteurs est nul :
$x=0$ ou $2x-1=0 \implies x=\frac{1}{2}$

Réponse:

Les solutions sont $x=0$ et $x=\frac{1}{2}$.

---

3) Calculer la valeur de E pour $x=-1$ et $x=\sqrt{3}$.

Explications étape par étape :

Pour $x=-1$ :

Étape 1: Remplacer $x=-1$ dans E

$E=2(-1)^2 - (-1) -3$

Étape 2: Calculer

$E=2\times1 +1 -3 = 2+1-3=0$

Pour $x=\sqrt{3}$ :

Étape 1: Remplacer $x=\sqrt{3}$ dans E

$E=2(\sqrt{3})^2 - \sqrt{3} -3$

Étape 2: Calculer

$E=2\times3 - \sqrt{3} -3 = 6 -3 - \sqrt{3} = 3 - \sqrt{3}$

Réponse:

• Pour $x=-1$, $E=0$
• Pour $x=\sqrt{3}$, $E=3-\sqrt{3}$

---

4) Donner un encadrement de E pour $x=\sqrt{3}$ par deux décimaux consécutifs, sachant que $1,732 < \sqrt{3} < 1,733$.

Explications étape par étape :

Étape 1: Utiliser l'encadrement de $\sqrt{3}$

On a $E=3-\sqrt{3}$, donc on inverse les inégalités :
$-1,733 < -\sqrt{3} < -1,732$

Étape 2: Ajouter 3 à chaque terme

$3 -1,733 < 3-\sqrt{3} < 3 -1,732$

Étape 3: Calculer les valeurs

$1,267 < E < 1,268$

Réponse:

L'encadrement de E est $1,267 < E < 1,268$.

---

5) Justifier que $E=(2x-3)(x+1)$.

Explications étape par étape :

Étape 1: Développer le produit

$(2x-3)(x+1) = 2x^2 +2x -3x -3$

Étape 2: Simplifier

$2x^2 -x -3$

Étape 3: Comparer avec E

Cette expression est identique à la forme développée de E trouvée à l'étape 1.

Réponse:

Le développement de $(2x-3)(x+1)$ donne $2x^2 -x -3$, qui est égal à E.

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6) Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation $(2x-3)(x+1)=0$.

Explications étape par étape :

Étape 1: Appliquer la règle du produit nul

Un produit est nul si l'un des facteurs est nul :
Soit $2x-3=0$, soit $x+1=0$

Étape 2: Résoudre chaque équation

• $2x-3=0 \implies x=\frac{3}{2}$
• $x+1=0 \implies x=-1$

Réponse:

Les solutions sont $x=-1$ et $x=\frac{3}{2}$.