2. consider the function $y = f(x)$ below. use the graph to answer the following questions, estimate whenever necessary.
(a) evaluate $f(15) =$
(b) evaluate $f(20) - f(10) =$
(c) solve $f(x) = 10$ for $x$.
(d) solve $f(x) = 20$ for $x$.

Question

Accepted Answer

### (a) Evaluate $ f(15) $
# Explanation:
## Step 1: Analizar el gráfico en $ x = 15 $
Observamos el punto en el gráfico donde $ x = 15 $. El gráfico muestra que en $ x = 15 $, la función $ y = f(x) $ tiene un valor de $ 0 $ (ya que la gráfica toca el eje $ x $ en $ x = 15 $).

# Answer:
$ f(15) = 0 $

### (b) Evaluate $ f(20) - f(10) $
# Explanation:
## Step 1: Encontrar $ f(20) $
Observamos el gráfico en $ x = 20 $. La gráfica es una línea ascendente, y estimamos que en $ x = 20 $, el valor de $ f(20) $ es $ 30 $ (ya que la pendiente después de $ x = 15 $ parece ser $ 6 $ por unidad de $ x $, y de $ x = 15 $ a $ x = 20 $ hay $ 5 $ unidades, por lo que $ 0 + 6 \times 5 = 30 $).

## Step 2: Encontrar $ f(10) $
Observamos el gráfico en $ x = 10 $. La gráfica es horizontal en ese tramo, y vemos que en $ x = 10 $, el valor de $ f(10) $ es $ 20 $ (ya que la parte horizontal de la gráfica está en $ y = 20 $ desde $ x = 5 $ hasta $ x = 10 $ aproximadamente).

## Step 3: Calcular $ f(20) - f(10) $
Sustituimos los valores: $ f(20) - f(10) = 30 - 20 = 10 $.

# Answer:
$ f(20) - f(10) = 10 $

### (c) Solve $ f(x) = 10 $ for $ x $
# Explanation:
## Step 1: Analizar el gráfico para $ y = 10 $
Buscamos los puntos en el gráfico donde $ y = 10 $. La gráfica tiene dos secciones donde $ y = 10 $: una en la parte ascendente inicial y otra en la parte descendente.

## Step 2: Encontrar $ x $ en la parte ascendente
La parte inicial de la gráfica es una línea ascendente de $ (0, 0) $ a $ (5, 20) $. La ecuación de esta línea es $ y = 4x $ (pendiente $ \frac{20 - 0}{5 - 0} = 4 $). Resolviendo $ 10 = 4x $, obtenemos $ x = \frac{10}{4} = 2.5 $.

## Step 3: Encontrar $ x $ en la parte descendente
La parte descendente es de $ (10, 20) $ a $ (15, 0) $. La ecuación de esta línea es $ y = -4x + 60 $ (pendiente $ \frac{0 - 20}{15 - 10} = -4 $, y usando el punto $ (10, 20) $: $ y - 20 = -4(x - 10) \Rightarrow y = -4x + 60 $). Resolviendo $ 10 = -4x + 60 $, obtenemos $ -4x = -50 \Rightarrow x = 12.5 $.

# Answer:
$ x = 2.5 $ y $ x = 12.5 $ (o valores aproximados según la estimación del gráfico)

### (d) Solve $ f(x) = 20 $ for $ x $
# Explanation:
## Step 1: Analizar el gráfico para $ y = 20 $
Buscamos los puntos en el gráfico donde $ y = 20 $. La gráfica tiene una sección horizontal en $ y = 20 $ y otras secciones?

## Step 2: Encontrar $ x $ en la parte horizontal
La parte horizontal de la gráfica está entre $ x = 5 $ y $ x = 10 $ (aproximadamente), donde $ y = 20 $. Además, la parte inicial ascendente: la línea de $ (0, 0) $ a $ (5, 20) $ tiene ecuación $ y = 4x $. Resolviendo $ 20 = 4x $, obtenemos $ x = 5 $. La parte horizontal es de $ x = 5 $ a $ x = 10 $ (aproximadamente), por lo que $ x $ está en el intervalo $ [5, 10] $ (o valores específicos: $ x = 5 $, $ x $ entre $ 5 $ y $ 10 $, y quizás otra? Wait, no: la gráfica sube de $ (0,0) $ a $ (5,20) $, luego se mantiene en $ y = 20 $ hasta $ x = 10 $, luego baja. Entonces, $ f(x) = 20 $ cuando $ x = 5 $, $ x $ entre $ 5 $ y $ 10 $, y quizás $ x = 10 $? Wait, en $ x = 10 $, la gráfica empieza a bajar, pero en $ x = 10 $, $ f(10) = 20 $. Entonces, los valores de $ x $ son $ x = 5 $, $ 5 \leq x \leq 10 $, y $ x = 10 $? Wait, más precisamente, la gráfica sube de $ (0,0) $ a $ (5,20) $ (entonces en $ x = 5 $, $ y = 20 $), luego se mantiene en $ y = 20 $ hasta $ x = 10 $ (entonces de $ x = 5 $ a $ x = 10 $, $ y = 20 $), y luego baja. Entonces, $ f(x) = 20 $ cuando $ x = 5 $, $ 5 < x < 10 $, y $ x = 10 $. Pero como es un gráfico de función a trozos, los valores de $ x $ son $ 5 \leq x \leq 10 $ (ya que la parte horizontal es de $ x = 5 $ a $ x = 10 $, inclusive).

# Answer:
$ x $ está en el intervalo $ 5 \leq x \leq 10 $ (o valores específicos $ x = 5 $, $ x = 10 $, y entre ellos, según la gráfica)

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Question

Explanation:

(a) Evaluate \( f(15) \)

Step 1: Analizar el gráfico en \( x = 15 \)

Step 1: Encontrar \( f(20) \)

Step 2: Encontrar \( f(10) \)

Step 3: Calcular \( f(20) - f(10) \)

Step 1: Analizar el gráfico para \( y = 10 \)

Step 2: Encontrar \( x \) en la parte ascendente

Step 3: Encontrar \( x \) en la parte descendente

Answer:

(b) Evaluate \( f(20) - f(10) \)