Question

1. consider the square-based prism on the right. the height of the prism is equal to $(2x - 1)$ cm and its volume is equal to $(8x^3 + 20x^2 + 6x - 9)$ cm³. if the area of the prisms base is equal to 25 cm², what is the volume of this prism in cm³? a) 25 cm³ b) 99 cm³ c) 5 cm³ d) 505 cm³

Explanation:

Step1: 기본 부피 공식 설정

사각기둥의 부피는 밑면 넓이 × 높이이므로 다음 식을 세울 수 있습니다.
$$\text{부피} = \text{밑면 넓이} \times \text{높이}$$
주어진 값을 대입하면:
$$8x^3 + 20x^2 + 6x - 9 = 25(2x - 1)$$

Step2: 방정식 정리하기

오른쪽을 전개한 후 모든 항을 왼쪽으로 옮겨 방정식을 정리합니다.
$$8x^3 + 20x^2 + 6x - 9 = 50x - 25$$
$$8x^3 + 20x^2 - 44x + 16 = 0$$
양변을 4로 나누어 간소화합니다:
$$2x^3 + 5x^2 - 11x + 4 = 0$$

Step3: 다항식 인수분해하기

합성 나눗셈을 통해 $(x-1)$이 인수임을 확인한 후 인수분해합니다.
$$(x-1)(2x^2 + 7x - 4) = 0$$
이차식을 다시 인수분해하면:
$$(x-1)(2x-1)(x+4) = 0$$

Step4: 유효한 x 값 찾기

높이 $(2x-1)$는 양수여야 하므로 각 근을 검증합니다:

• $x=1$일 때, $2x-1=1>0$ (유효)
• $x=\frac{1}{2}$일 때, $2x-1=0$ (무효, 높이가 0일 수 없음)
• $x=-4$일 때, $2x-1=-9<0$ (무효)

따라서 $x=1$이 유효한 값입니다.

Step5: 부피 계산하기

$x=1$을 부피 식에 대입하거나 밑면 넓이×높이로 계산합니다.
높이: $2(1)-1=1\ \text{cm}$
부피: $25 \times 1 = 25\ \text{cm}^3$
또는 부피 식에 대입:
$$8(1)^3 + 20(1)^2 + 6(1) - 9 = 8+20+6-9=25\ \text{cm}^3$$

Answer:

A) 25 cm³