Question

9 réduis les expressions suivantes. écris tes réponses en notation exponentielle : ( a^m ). nutilise que des exposants positifs.

a) ( \frac{5^{-4} \times 5^3 \times 5^2}{5^8} = )
b) ( \frac{3^2 \times 2^5}{3^{-5} \times 5^?} = )
c) ( \frac{3^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{5}{3}}}{3^2 \times 3^{\frac{1}{5}} \times 3^{\frac{4}{5}}} = )
d) ( left( 3 \times left( 3 \times 6^{-2}
ight)^4
ight)^3 = )
e) ( \frac{sqrt4{2} \times 2^5 \times 2^{\frac{-1}{3}}}{sqrt{2} \times sqrt{2}} = )
f) ( \frac{left( 5 \times 7^3 \times 3^{-2}
ight)^{-3}}{2^4} = )

Explanation:

Énoncé:

Réduis les expressions suivantes. Écris tes réponses en notation exponentielle : $a^m$. N'utilise que des exposants positifs.

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Partie a)

Étape 1: Additionner les exposants du numérateur

Pour des puissances de même base, on additionne les exposants lors de la multiplication :
$5^{-4} \times 5^3 \times 5^2 = 5^{-4+3+2} = 5^{1}$

Étape 2: Soustraire l'exposant du dénominateur

Lors de la division de puissances de même base, on soustrait les exposants :
$\frac{5^{1}}{5^{6}} = 5^{1-6} = 5^{-5}$

Étape 3: Convertir en exposant positif

Un exposant négatif correspond à l'inverse avec un exposant positif :
$5^{-5} = \frac{1}{5^{5}}$

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Partie b)

Étape 1: Séparer les bases distinctes

On isole les puissances de 3 et les puissances de 2 :
$\frac{3^{2} \times 2^{5}}{3^{-5} \times 5^{2}} = \frac{3^{2}}{3^{-5}} \times \frac{2^{5}}{5^{2}}$

Étape 2: Simplifier les puissances de 3

$\frac{3^{2}}{3^{-5}} = 3^{2 - (-5)} = 3^{7}$

Étape 3: Écrire l'expression finale

On garde les termes avec des exposants positifs :
$3^{7} \times \frac{2^{5}}{5^{2}} = \frac{3^{7} \times 2^{5}}{5^{2}}$

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Partie c)

Étape 1: Additionner les exposants du numérateur

$3^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{5}{3}} = 3^{\frac{1}{3}+\frac{5}{3}} = 3^{\frac{6}{3}} = 3^{2}$

Étape 2: Additionner les exposants du dénominateur

$3^{2} \times 3^{\frac{1}{5}} \times 3^{\frac{4}{5}} = 3^{2+\frac{1}{5}+\frac{4}{5}} = 3^{2+1} = 3^{3}$

Étape 3: Soustraire les exposants

$\frac{3^{2}}{3^{3}} = 3^{2-3} = 3^{-1} = \frac{1}{3^{1}} = \frac{1}{3}$

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Partie d)

Étape 1: Simplifier l'intérieur des parenthèses

On applique la règle $(a^m)^n = a^{m \times n}$ à $(6^{-2})^4$ :
$(6^{-2})^4 = 6^{-2 \times 4} = 6^{-8}$

Étape 2: Multiplier les puissances de 3

$3 \times 3^{1} = 3^{1+1} = 3^{2}$, donc l'expression devient :
$(3^{2} \times 6^{-8})^{3}$

Étape 3: Appliquer la puissance à chaque terme

$(3^{2})^{3} \times (6^{-8})^{3} = 3^{2 \times 3} \times 6^{-8 \times 3} = 3^{6} \times 6^{-24}$

Étape 4: Convertir en exposant positif

$6^{-24} = \frac{1}{6^{24}}$, donc :
$3^{6} \times \frac{1}{6^{24}} = \frac{3^{6}}{6^{24}}$

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Partie e)

Étape 1: Écrire les racines en notation exponentielle

$\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}$ et $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$, donc l'expression devient :
$\frac{2^{\frac{1}{3}} \times 2^{5} \times 2^{-\frac{1}{3}}}{2^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2: Simplifier le numérateur

$2^{\frac{1}{3}+5-\frac{1}{3}} = 2^{5}$

Étape 3: Simplifier le dénominateur

$2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = 2^{1}$

Étape 4: Soustraire les exposants

$\frac{2^{5}}{2^{1}} = 2^{5-1} = 2^{4}$

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Partie f)

Étape 1: Appliquer la puissance à chaque terme

On utilise la règle $(a \times b \times c)^n = a^n \times b^n \times c^n$ :
$(5 \times 7^{3} \times 3^{-2})^{-3} = 5^{-3} \times 7^{3 \times (-3)} \times 3^{-2 \times (-3)} = 5^{-3} \times 7^{-9} \times 3^{6}$

Étape 2: Convertir les exposants négatifs

$5^{-3} = \frac{1}{5^{3}}$ et $7^{-9} = \frac{1}{7^{9}}$, donc :
$\frac{3^{6}}{5^{3} \times 7^{9} \times 2^{4}}$

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Answer:

a) $\boldsymbol{\frac{1}{5^5}}$
b) $\boldsymbol{\frac{3^7 \times 2^5}{5^2}}$
c) $\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
d) $\boldsymbol{\frac{3^6}{6^{24}}}$
e) $\boldsymbol{2^4}$
f) $\boldsymbol{\frac{3^6}{2^4 \times 5^3 \times 7^9}}$