Question

for the following function, make a table of slopes of secant lines and make a conjecture about the slope of the tangent line at the indicated point. ( f(x)=6cos x ) at ( x = \frac{pi}{2} ). complete the table below. (round the final answer to three decimal places as needed. round all intermediate values to four decimal places as needed.)

interval	slope of secant line

Explanation:

Step1: セカント線の傾きの公式を用いる

セカント線の傾きは $\frac{f(x + h)-f(x)}{h}$ です。ここで $f(x)=6\cos x$ で、$x = \frac{\pi}{2}$ です。ただし、問題ではインターバル（$h$ の値）が与えられていないため、一般的な方法を示します。$f(x)=6\cos x$ なので、$f(x + h)=6\cos(x + h)$ です。傾き $m=\frac{6\cos(x + h)-6\cos x}{h}$ で、$x=\frac{\pi}{2}$ を代入すると $m=\frac{6\cos(\frac{\pi}{2}+h)-6\cos\frac{\pi}{2}}{h}$ です。$\cos\frac{\pi}{2}=0$ なので、$m = \frac{6\cos(\frac{\pi}{2}+h)}{h}$ です。三角関数の加法定理 $\cos(A + B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$ を用いて、$\cos(\frac{\pi}{2}+h)=\cos\frac{\pi}{2}\cos h-\sin\frac{\pi}{2}\sin h=-\sin h$ です。すると $m=\frac{- 6\sin h}{h}$ です。

Step2: 具体的な $h$ の値を用いて計算する

$h$ の値が与えられていないため、仮に $h = 0.1$ とすると、$m=\frac{-6\sin(0.1)}{0.1}$ です。$\sin(0.1)\approx0.0998$ なので、$m=\frac{-6\times0.0998}{0.1}=- 5.988$ （四捨五入で小数第3位まで）。

Answer:

（$h$ の値によって異なりますが、上記の例では）$-5.988$